Højre- og venstresystemer

Det er da en ganske glimrende,simpel og letforståelig definition. Den er vel ikke værre end fx. at x-aksen i et x-y koordinatsystem skal pege mod højre.

Definitionen er vel ikke så slem. X og Y-aksen vil jo altid definere et plan, hvor orienteringen af planet er bestemt ud fra positiv retning af Z. Alt afhængig af om positiv Z-retning går fra den ene eller den anden side af X-Y-planet, har du så to forskellige navne for koordinatsystemet (højre og venstre)

Det med håndtegnene kan virke åndsvagt, men er den enkleste måde at huske det på. Jeg har selv siddet til matematikeksamen på DTU, hvor stort set samtlig sad og lavede underlige tegn. Huskereglen med X = tommel, Y = pege og Z = lange alle i positiv retning, er den jeg selv foretrækker. Specifikt ved fladeintegrale og momenter er reglen uundværlig!

Min matematiklærer i gymnasiet sagde noget á la dette (for et højredrejet koordinatsystem):

Hvis du står på z-aksen, og kigger ned i xy-planen, så er x-aksen til højre og y-aksen til venstre.

Begrebet orientering er - ligesom alt andet - særdeles veldefineret i matematikken.

Spørgsmålet gåt specifikt på R^2 og R^3, men orientering er defineret helt generelt for ethvert reelt vektorrum [altså en additiv abelsk gruppe udvidet med skalarmultiplikation med elementer fra R (eller et underlegeme i R)].


Som bekendt har ethvert vektorrum V en basis. Mellem to sådanne ordnede (*) baser (e1) og (e2) findes altid en lineær transformation (**) L:V->V som fører (e1) over i (e2). Man siger nu, at (e1) og (e2) har samme orientering hvis og kun hvis afbildningsmatricen for L har positiv derterminant. I modsat fald siges baserne at være modsat orienterede.

Defineres nu relationen ~ "har samme orientering som" er det let at se, at ~ er en ækvivalensrelation på mængden af alle ordnede baser i V. Relationen giver anledning til netop to ækvivalensklasser.

Udser man sig derfor en bestemt basis (b) giver nævnte ækvivalænsrelation da anledning to til ækvivalensklasser. Den ene klasse består af alle ordnede baser, der har samme orientering som (b), den anden af alle de ordnede baser, der er modsat orienterede af (b). Man fastsætter definitionsmæssigt alle de ordnede baser, der ligger i samme klasse som (b), som værende positivt orienterede.

Specielt for R^n har man valgt en kanonisk (standard)basis (e_i) hvor e_i er vektorer der har 1 på i'te koordinatposition og ellers 0. Enhver basis der er orienteret på samme måde som denne er da per difinition positivt orienteret. I R^3 benytter man tillige betegnelser "højresystem" for enhver sådan basis.

Selve håndvifteriet er blot et hjælpemiddel. I R^3 gælder, at vektorproduktet mellem enhedsvektorerne x og y netop er z. Lægger man defor tommelen langs x-aksen, pegemand langs y, så vil z ligge ortogonalt herpå langs langemand. Og dermed vil enhver basis, der er orienteret på samme "fingermåde" være orienteret ligesom standardbasis, og dermed være et højresystem. Udover R^3 har højrehåndsregelen ingen interesse.

(*) en ordnet base er blot basisvektorerne listet i en bestemt rækkefølge - altså en n-tuple hvis der er n basisvektorer.

(**) en lineær transformation er en strukturbevarende funktion mellem to vektorrum V og W. Den bevarer addition og skalarmultiplikation. Er V og W af endelig dimension med valgte baser kan enhver lineær transformation mellem dem repræsenteres ved en matrix.

#3
:-)

En temmelig problematisk "definition". Hvad nu hvis jeg kigger "ned" mod anden kvadrant...

Jeg forstår godt waterhouse's indvendinger mod "definitioner" af den art. Oftest udspringer de af, at det matematiske apparet, der tillader en at foretage de præcise definitioner, slet ikke er på plads i gymnasiet.

#0

Du kan undgå højre- og venstreorientering ved at insistere på, at rumgeometrien er som et Möbius bånd.

Tusind tak, fixer.

#6: Fortæl fortæl, lyder...alternativt.

Eftersom der ikke kom respons på #7 så vil jeg tillade mig at svare.

Dit spørgsmål gik på orientering i vektorrum, hvilket jeg beskrev i mit tidligere svar.

Forslaget i #6 er ikke helt relevant i denne sammenhæng idet det omhandler orienterbarhed af flader indlejret i R^3.

Visse flader, såsom Möbiusbåndet, kan ikke orienteres, hvilket i praksis vil sige at enhver figur, der flyttes rundt på fladen og tilbage til sit udgangspunkt, vil blive spejlvendt. Enhver flade, der indeholder en delmængde homeomorf med Möbiusbåndet, er ikke orienterbar.

De flader, du er vant til at arbejde med, såsom kugler og planer, er alle orienterbare.

For kompakte n-dimensionale mangfoldigheder kan man ved hjælp af homologigrupper foretage en - synes jeg - yderst elegant definition på orieterbarhed. Men den del lader vi ligge til du har haft om topologi og algebraisk topologi (men du har nu fået nogle søgeord der måske kan pirre nysgerrigheden...).