at bestemme fixpunkt

Husk at x^2=1 også kan give x=-1.

Jeg sætter jo x^2 = x og ikke 1

Ja, fixpunkterne er 0 og 1. Desuden har vi f'(0)=01. Dermed er 1 frastødende og 0 tiltrækkende. Da f'(0)=0 kaldes fixpunktet også for supertiltrækkende.

Sigmund.. Nu hvis du er her. hvordan vil du forklare hvad et supertiltrækkende fixpunkt er? Altså sådan med ord. Hvis det er tiltrækkende går elementerne i talfølgen jo bare mod fixpunktet. Men supertiltrækkende?

At et punkt, z0, er et tiltrækkende fixpunkt betyder, at hvis vi vælger en vilkårlig initialværdi i en nærmere bestemt omegn om z0 og dernæst danner iterationerne:

z1 = f(z0)

z2 = f(z1)

:

z_n = f(z_(n-1))

:

og så fremdeles, så konvergerer følgen mod z0. Den afledede af f' i z0 fortæller noget om, hvorledes iterationen opfører sig for nærtliggende punkter i omegenen om z0. Årsagen til det skal søges deri, at funktionen lokalt via en Taylorudvikling kan udtrykkes ved sin første afledede f'(z). For et tiltrækkende fixpunkt gælder at |f'(z0)| < 1 som skal forståes sådan, at afbildningen f lokalt om z0 er en kontraktion (sammentrækning): En værdi z0+delta producerer en værdi f(z0+delta) som er endnu tættere på z0 end z0+delta. Jo "stærkere" sammentrækningen er, desto "hurtigere" konvergerer følgen mod fixpunktet. Hvis specielt f'(z0)=0 konvergerer følgen "meget hurtigt" i en nærmere defineret forstand.

#5
Det kører bare i dag:

"z1 = f(z0)"

->

"z1 = f(z_initial)"