Matematik
Stor opgave. Pi
16. december 2002 af
SP anonym (Slettet)
Jeg har fået følgende problemformulering.
-der ønskes en vurdering af de meget tidlige værdier for pi, og en redegørelse for nogle af de metoder man gennem matematikkens tidlige historie har brugt til at finde pi.
-Dernæst ønskes en redegørelse for hvordan pi kan bestemmes vha. Arcustangens rækker.
-Der ønskes en detaljeret diskussion af hvordan man kan forbedre bestemmelsen af pi ved at kombinere arcustangensrækker.(bestem selv formlerne)
-Endelig ønskes en vurdering af hvor mange led der skal medtages i en given formel for at bestemme pi med 10 decimalers nøjagtighed, for de formler du har udvalgt ovenfor.
Det første punkt er næsten klaret, men hvordan højner jeg niveauet? Jeg kan ikke forestille mig at man bare skal skrive af efter bøgerne!
-der ønskes en vurdering af de meget tidlige værdier for pi, og en redegørelse for nogle af de metoder man gennem matematikkens tidlige historie har brugt til at finde pi.
-Dernæst ønskes en redegørelse for hvordan pi kan bestemmes vha. Arcustangens rækker.
-Der ønskes en detaljeret diskussion af hvordan man kan forbedre bestemmelsen af pi ved at kombinere arcustangensrækker.(bestem selv formlerne)
-Endelig ønskes en vurdering af hvor mange led der skal medtages i en given formel for at bestemme pi med 10 decimalers nøjagtighed, for de formler du har udvalgt ovenfor.
Det første punkt er næsten klaret, men hvordan højner jeg niveauet? Jeg kan ikke forestille mig at man bare skal skrive af efter bøgerne!
Svar #1
16. december 2002 af 404error (Slettet)
Så er spørgsmålet der igen. Her følger en kort "guide" til større opgaver i matematik, baseret på egne erfaringer (dog mestendels med noget større projekter).
Hvad er en "god" matematisk fremstilling? Overordnet set adskiller den sig ikke særligt fra gode fremstillinger indenfor andre fagområder. Du skal besvare problemstillingen fyldestgørende og helst så din besvarelse fremstår så selvstændigt som muligt. Det er der ikke meget nyt i. Det, der måske får matematik til at virke simplere at lave opgaver i er primært, at resultaterne for størstedelens vedkommende er gammel viden - man laver sjældent noget decideret nyt, medmindre man bedriver forskning i matematik. Det forventes selvfølgelig ikke af dig, hvorfor man kunne fristes til at tro, at matematikopgaver for størstedelens vedkommende "bare er afskrift". Det er en misforståelse. Den strengt logiske opbygning gør det selvfølgelig nærliggende bare at tage de nødvendige sætninger og definitioner fra den første og bedste bog, stykke dem sammen og konkludere. Det viser måske, at du har forståelse for konsekvenserne af de præsenterede sætninger, men IKKE at du har forståelse for de dybere sammenhænge, som ligger til grund for konklusionerne - i særdeleshed ikke, hvis de præsenterede sætninger er ren afskrift! Hvad der derimod adskiller den gode fremstilling fra den gennemsnitlige er evnen til at skille sammenhængene fra hinanden - og vise, at du forstår den dybere struktur i din problemstilling og metoderne til at behandle din. En lille analogi: Forestil dig, at du er blevet bedt om at bygge en bestemt konstruktion af klodser. Konstruktionen skal opfylde f.eks. fem kriterier, og til din hjælp har du fået et diagram, der viser hvordan du kan bygge din konstruktion, så den opfylder disse kriterier og 17 andre. Hvordan vil du tage hånd om opgaven? Du kan selvfølgelig bare bygge som diagrammet foreskriver - men det er jo en temmelig "uøkonomisk" tilgang. Der er mere arbejde til dig, og du viser ingen forståelse for kunsten at lave konstruktioner med klodser :), men blot at du forstår at læse det udleverede diagram. En langt bedre løsning er at studere diagrammet nøje og forsøge at opbygge din konstruktion, så den lige netop opfylder de stillede kriterier; gerne på den mest elegante og logiske måde. Det er sværere, ja, men viser en meget dybere forståelse for din opgave.
Ganske på samme måde er det med matematik; der jo netop er en konstruktion af definitioner, sætninger og beviser. Din opgave er at skille din litteratur ad i enkeltdelene og lave den mest logiske (elegante) opbygning ved at sætte tingene sammen på den rigtige måde, uden at levere unødvendige resultater - samtidig med at du sikrer "konstruktionen", så den holder (jf. klods-analogien) 110%!
Hvordan overføres dette på en konkret problemformulering?
Dan dig et overblik over dit baggrundsmateriale - hvad skriver de enkelte kilder, hvordan vil det kunne tænkes anvendt på netop din problemformulering. Lav en overordnet disposition og tænk så tingene rigtig godt igennem - er der nogle sætninger, der kan udelades? Nogle mellemresultater, som er mindre relevante? Skær så noget af dispositionen fra, og tænk problemstillingen igennem igen. Holder det vand - er der nogle svage punkter eller evt. huller? Kan opbygningen laves anderledes, så den passer bedre til din problemstilling - litteraturen giver sjældent den optimale for en afgrænset problemstilling. Når du er nogenlunde tilfreds, kan du gå igang med opgaven. Skriv løs - og stop op undervejs og tænk tingene igennem igen; kan man skære noget væk, mangler noget, er noget uklart o.s.v. Sådan fortsætter du skriveriet indtil du føler dig overbevist om, at netop din fremstilling af teorien er tilstrækkelig og nødvendig for at nå de ønskede resultater - og du har brugt betragtelige mængder tid på at overveje, hvad der kunne få din fremstilling til at falde sammen (oftest er det de små argumenter, hvor hullerne lurer!). Når du når det punkt, har du en god fremstilling - uden nødvendigvis at have forsøgt at "højne opgaven" ved at lave alle mulige krumspring, der oftest forvirrer mere end de gavner. Hvis du alligevel vil imponere yderligere, så overvej først den slags til sidst. Det giver som regel de bedste resultater. God fornøjelse med skriveriet!
vh,
Anders.
Hvad er en "god" matematisk fremstilling? Overordnet set adskiller den sig ikke særligt fra gode fremstillinger indenfor andre fagområder. Du skal besvare problemstillingen fyldestgørende og helst så din besvarelse fremstår så selvstændigt som muligt. Det er der ikke meget nyt i. Det, der måske får matematik til at virke simplere at lave opgaver i er primært, at resultaterne for størstedelens vedkommende er gammel viden - man laver sjældent noget decideret nyt, medmindre man bedriver forskning i matematik. Det forventes selvfølgelig ikke af dig, hvorfor man kunne fristes til at tro, at matematikopgaver for størstedelens vedkommende "bare er afskrift". Det er en misforståelse. Den strengt logiske opbygning gør det selvfølgelig nærliggende bare at tage de nødvendige sætninger og definitioner fra den første og bedste bog, stykke dem sammen og konkludere. Det viser måske, at du har forståelse for konsekvenserne af de præsenterede sætninger, men IKKE at du har forståelse for de dybere sammenhænge, som ligger til grund for konklusionerne - i særdeleshed ikke, hvis de præsenterede sætninger er ren afskrift! Hvad der derimod adskiller den gode fremstilling fra den gennemsnitlige er evnen til at skille sammenhængene fra hinanden - og vise, at du forstår den dybere struktur i din problemstilling og metoderne til at behandle din. En lille analogi: Forestil dig, at du er blevet bedt om at bygge en bestemt konstruktion af klodser. Konstruktionen skal opfylde f.eks. fem kriterier, og til din hjælp har du fået et diagram, der viser hvordan du kan bygge din konstruktion, så den opfylder disse kriterier og 17 andre. Hvordan vil du tage hånd om opgaven? Du kan selvfølgelig bare bygge som diagrammet foreskriver - men det er jo en temmelig "uøkonomisk" tilgang. Der er mere arbejde til dig, og du viser ingen forståelse for kunsten at lave konstruktioner med klodser :), men blot at du forstår at læse det udleverede diagram. En langt bedre løsning er at studere diagrammet nøje og forsøge at opbygge din konstruktion, så den lige netop opfylder de stillede kriterier; gerne på den mest elegante og logiske måde. Det er sværere, ja, men viser en meget dybere forståelse for din opgave.
Ganske på samme måde er det med matematik; der jo netop er en konstruktion af definitioner, sætninger og beviser. Din opgave er at skille din litteratur ad i enkeltdelene og lave den mest logiske (elegante) opbygning ved at sætte tingene sammen på den rigtige måde, uden at levere unødvendige resultater - samtidig med at du sikrer "konstruktionen", så den holder (jf. klods-analogien) 110%!
Hvordan overføres dette på en konkret problemformulering?
Dan dig et overblik over dit baggrundsmateriale - hvad skriver de enkelte kilder, hvordan vil det kunne tænkes anvendt på netop din problemformulering. Lav en overordnet disposition og tænk så tingene rigtig godt igennem - er der nogle sætninger, der kan udelades? Nogle mellemresultater, som er mindre relevante? Skær så noget af dispositionen fra, og tænk problemstillingen igennem igen. Holder det vand - er der nogle svage punkter eller evt. huller? Kan opbygningen laves anderledes, så den passer bedre til din problemstilling - litteraturen giver sjældent den optimale for en afgrænset problemstilling. Når du er nogenlunde tilfreds, kan du gå igang med opgaven. Skriv løs - og stop op undervejs og tænk tingene igennem igen; kan man skære noget væk, mangler noget, er noget uklart o.s.v. Sådan fortsætter du skriveriet indtil du føler dig overbevist om, at netop din fremstilling af teorien er tilstrækkelig og nødvendig for at nå de ønskede resultater - og du har brugt betragtelige mængder tid på at overveje, hvad der kunne få din fremstilling til at falde sammen (oftest er det de små argumenter, hvor hullerne lurer!). Når du når det punkt, har du en god fremstilling - uden nødvendigvis at have forsøgt at "højne opgaven" ved at lave alle mulige krumspring, der oftest forvirrer mere end de gavner. Hvis du alligevel vil imponere yderligere, så overvej først den slags til sidst. Det giver som regel de bedste resultater. God fornøjelse med skriveriet!
vh,
Anders.
Svar #2
16. december 2002 af SP anonym (Slettet)
Mange tak for hjælpen. Jeg har hentet en version af maple på www.maplesoft.com. Hvordan skriver jeg en arctangensrække op i dette program?
Svar #3
01. januar 2003 af SP anonym (Slettet)
Hvordan downloader du Maple på www.maplesoft.com? Jeg kan nemlig ikke finde nogen 'downloadable' version af selve programmet. Jeg kan kun finde, hvor man registrerer sin version af Maple.
Håber nogen svarer!
Mvh. Sigmund
Håber nogen svarer!
Mvh. Sigmund
Skriv et svar til: Stor opgave. Pi
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.