Matematik

Hjælp til Bevis

21. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Hejsa. Jeg har et bevis her som jeg håber der er som kan hjælpe mig med at forstå. Det ligger her:
http://www.econ.ku.dk/okofh/Teaching/LASP/LASP-uge07.pdf

Som det vigtigste, så forstår jeg ikke rigtigt hvordan man kommer frem til den relation mellem de to tæthedsfunktioner. Jeg kan godt se at det kommer af nogen overvejelser omkring volumet af en størrelse, du, men hvordan det bringer relationen frem forstår jeg ikke helt.

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. marts 2007 af sheaf (Slettet)

Tænk på Jakobianten, der dukker op under transformation af integrationsmængder. Hvis f er en kontinuert, injektiv afbildning f:A->f(A) mellem åbne mængder, og med kontinuerte partielle afledede, så gælder for enhver ikke-negativ funktion g (igen afstår jeg fra foraets middelmådige LaTeX-support)

S[g(x)]dx =
f(M)

S[g(f(y)|J(y)|]dy
M

hvor M er en delmængde af A og J(y) er Jakobianten af f. I det konkrete tilfælde er der tale om en lineær afbildning med B som Jakobiant.

Jeg har rystet et alternativt bevis sammen, byggende på ovenstående resultat, men ellers baseret udelukkende på definitionen på sandsynlighedstæthedsfunktioner for stokatiske vektorer. Hvis det har interesse kan jeg poste det her ved lejlighed; men det vil tage noget tid så bed ikke om det med mindre det partout er nødvendigt.

Svar #2
21. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Jeg forstår faktisk ikke rigtig hvad du skriver.
Kan du forklare i ord hvad de to integraler dækker over? Som sådan behøver jeg ikke formelt at kunne redegøre for beviset, så det er mere noget intuition (om muligt) jeg er ude efter. Jeg er heller ikke endnu meget bekendt med Jakobideterminanten. Jeg hørte om den til forelæsning idag for første gang. Jeg vil formentlig ikke gøre et meget bedre job af at forstå dit alternative bevis, ellers tak. Hvad læser du i øvrigt. Du virker som lidt af et matematikorakel :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. marts 2007 af sheaf (Slettet)

Grundtanken bag argumentationen i det refererede link er, at værdiområdet for den stokastiske vektor ændrer sig under transformationen af vektoren. Med tanke på, at fordelingsfunktioner fremkommer ved integration af tæthedsfunktioner over sådanne værdiområder, er det nærliggende at spørge hvorledes et sådant integraludtryk ændrer sig når en integrationsmængde afbildes i en anden. Og denne relation er som angivet i #1. Der står i ord, at hvis een integrationsmængde M ved en funktion f afbildes i en anden integrationsmængde f(M) så er integralet af en funktion g over f(M) det samme som integralet over M af g sammensat med f ganget med en "skalering" (=Jakobianten af f) som redegør for "deformationen" af M under afbildningen f.

Intuitivt redegør det(B) derfor for deformationen af værdiområdet for den stokastiske vektor under den lineære afbildning, hvis afbildningsmatrix er B.

Svar #4
21. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Tak, det hjalp faktisk meget. Jeg har et ekstra spørgsmål hvis du har tid. Kan du vise mellemregningerne der fører til 3. lighedstegn på s.4? Jeg har prøvet at bikse med det og det virker ikke for mig. På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. marts 2007 af sheaf (Slettet)

Det er grundlæggende ikke andet end at udnytte at B'B = |B|^2 til omskrivning af determinantfaktoren og dernæst at justere normalfordelingsudtrykket så det korresponderer med den nye faktor.

Volder det stadig problemer, så kig evt. her:

www.math.uiuc.edu/~r-ash/Stat/StatLec21-25.pdf

www.cs.huji.ac.il/~csip/tirgul34.pdf

Svar #6
22. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Tak igen. Link nummer 2 var guld. Jeg tror jeg er ved at få styr på det nu. Lige en sidste ting...

Man sætter |detB|^-1 ind under kvadratrodstegnet ved at tage det((B')^-1AB^-1). Hvorfor kommer A ind i midten der? Er det bare fordi det virker og fordi at det så er lettere at se hvad den nye kovariansmatrix bliver eller er der en sætning e.l. om det?

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. marts 2007 af sheaf (Slettet)

Det essentielle er omskrivningerne i exponentialfuktionens argument; referer til ligning (6) i dit favoritlink ovenfor, skridtet fra linie 2 til 3. Ved at udtage U fra venstre og U' fra højre (y-Umy)-parantes fremkommer matrixformen U(S^(-1))U' (S for Sigma).

Denne form er vejledende for omskrivning af determinantfaktoren under hvilken man naturligvis tilstræber at opnå samme matrixform som ovenfor for at kunne identificere kovariansmatricen.

Til dette betjener man sig af, at determinanten er en multipilkativ afbildning, d.v.s.

det(AB) = det(A)det(B)

hvorfor man kan arrangere determinantoperatoren argument på den mest fordelagtige måde; d.v.s. som ønsket udfra matrixformen i exponentialfunktionen.

Svar #8
22. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Fint. Mange tak for din hjælp! Det er pænt af dig! Det der havde forvirret mig ved den omskrivning var netop det med at sætte udenfor parantes. Det hjalp af se standardformen i linket, hvor det var mere tydeligt at man ganger på fra to sider.

Skriv et svar til: Hjælp til Bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.