Matematik
bevis beskrivelse
27. april 2007 af
divadua (Slettet)
Er der nogen som kan beskrive løsningen til den logistiske ligning lidt mere præcist i nedenstående link, for der er mange steder jeg ikke helt kan forstå hvad der sker og hvilke metoder de bruger for at komme videre?
Håber der er nogen som kan hjælpe med dette:)
http://www.matlex.dk/difflign.html#logistisk
Håber der er nogen som kan hjælpe med dette:)
http://www.matlex.dk/difflign.html#logistisk
Svar #1
27. april 2007 af holretz (Slettet)
man gør det i to trin:
1) separer de variable
2) lav en ekspansion af den fremkomne brøk på den ene side, det der på engelsk kaldes partial fraction expansion.
Denne løsning er også beskrevet i det oprindelige link, idet brøkekspansionen er givet
mit forslag til hvordan det kan skrives:
dy/dx = y*(b-a*y)
<=> (du dividerer igennem med y*(b-a*y) på begge sider og ganger med dx på begge sider)
1/(y*(b*a-y)) dy = dx
(Så bruges brøkekspansionen til at omskrive brøken)
<=>
{(1/b) /y + (a/b) / (b - a*y)} dy = dx
<=> brøken er nu ekspanderet, dy flyttes ind på hvert led:
(1/b) / y dy + (a/b) / (b-a*y) dy = dx
<=>
Der integreres og man husker integrationskonstanten
Int (1/b) / y dy + Int (a/b) / (b-a*y) dy = Int dx + C
<=>
Int (1/b) * (1/y) dy + Int (a/b) / (b-a*y) dy = x + C
<=> Hvis y > 0 så er løsningen til
Int (1/y)= ln y + K, konstanterne behøver man selvfølgeligt ikke at skrive, da de er samlet i konstanten C på højre side af ligningen.
(1/b) * ln y + Int(a/b) / (b-a*y) dy = x + C
Det andet led på venstre side løses ved at lave en substitution:
U = b - a* y <=> dU = dB - a*dy <=> dU = -a*dy
<=> - dU * (1/a) = dy
Når du indsætter det på dy's plads, så kommer der til at stå: Int (a/b) * - (1/a) / U dU <=> Int (-1/b)* (1/U) dU
Hvis b -a*y > 0 så giver det når du integrer: (-1/b)*ln U <=> (-1/b) * ln(b - a*y) + K
Der står så nu alt i alt:
ln (y) /b - ln(b -a*y)/b = x + C
Hvis du nu ganger igennem med b på begge sider:
ln (y) - ln(b - a*y) = b*x + b*C
Brug brøkregnereglen for logaritmer ln(a/b) = ln a - ln b :
ln(y/(b-a*y)) = b*x + b* C
skriv nu:
e^(ln(y/(b-a*y)) = e^(b*x+b*C)
<=>
y/(b-a*y) = e^(b*x) + e^(b*C)
resten kan du selv regne ud ved at kigge i linket...
1) separer de variable
2) lav en ekspansion af den fremkomne brøk på den ene side, det der på engelsk kaldes partial fraction expansion.
Denne løsning er også beskrevet i det oprindelige link, idet brøkekspansionen er givet
mit forslag til hvordan det kan skrives:
dy/dx = y*(b-a*y)
<=> (du dividerer igennem med y*(b-a*y) på begge sider og ganger med dx på begge sider)
1/(y*(b*a-y)) dy = dx
(Så bruges brøkekspansionen til at omskrive brøken)
<=>
{(1/b) /y + (a/b) / (b - a*y)} dy = dx
<=> brøken er nu ekspanderet, dy flyttes ind på hvert led:
(1/b) / y dy + (a/b) / (b-a*y) dy = dx
<=>
Der integreres og man husker integrationskonstanten
Int (1/b) / y dy + Int (a/b) / (b-a*y) dy = Int dx + C
<=>
Int (1/b) * (1/y) dy + Int (a/b) / (b-a*y) dy = x + C
<=> Hvis y > 0 så er løsningen til
Int (1/y)= ln y + K, konstanterne behøver man selvfølgeligt ikke at skrive, da de er samlet i konstanten C på højre side af ligningen.
(1/b) * ln y + Int(a/b) / (b-a*y) dy = x + C
Det andet led på venstre side løses ved at lave en substitution:
U = b - a* y <=> dU = dB - a*dy <=> dU = -a*dy
<=> - dU * (1/a) = dy
Når du indsætter det på dy's plads, så kommer der til at stå: Int (a/b) * - (1/a) / U dU <=> Int (-1/b)* (1/U) dU
Hvis b -a*y > 0 så giver det når du integrer: (-1/b)*ln U <=> (-1/b) * ln(b - a*y) + K
Der står så nu alt i alt:
ln (y) /b - ln(b -a*y)/b = x + C
Hvis du nu ganger igennem med b på begge sider:
ln (y) - ln(b - a*y) = b*x + b*C
Brug brøkregnereglen for logaritmer ln(a/b) = ln a - ln b :
ln(y/(b-a*y)) = b*x + b* C
skriv nu:
e^(ln(y/(b-a*y)) = e^(b*x+b*C)
<=>
y/(b-a*y) = e^(b*x) + e^(b*C)
resten kan du selv regne ud ved at kigge i linket...
Svar #3
27. april 2007 af sigmund (Slettet)
#2,
Har der ikke sneget sig en lille fejl ind i det sidste formeludtryk? Skal der ikke stå '*', i stedet for '+' på højre side?
Har der ikke sneget sig en lille fejl ind i det sidste formeludtryk? Skal der ikke stå '*', i stedet for '+' på højre side?
Svar #4
27. april 2007 af Benjamin. (Slettet)
#2 Tilføjelse til #3:
1/(y*(b*a-y)) dy = dx
skulle nok have været
1/(y*(b-ay)) dy = dx
1/(y*(b*a-y)) dy = dx
skulle nok have været
1/(y*(b-ay)) dy = dx
Skriv et svar til: bevis beskrivelse
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.