Matematik

Bevis for R

29. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Hvordan beviser man at a^n * a^m = a^n+m.

Beviset for de naturlige tal er nemt, jeg mangler bare beviset for de reelle tal.

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. april 2007 af Waterhouse (Slettet)

a^n * a^m =
e^[ln(a^n * a^m)] =
e^[ln(a^n)+ln(a^m)] =
e^[n*ln(a)+m*ln(a)] =
e^[(n+m)*ln(a)] =
e^[ln(a^(n+m))] =
a^(n+m)

Svar #2
29. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Logaritme-reglerne hviler på en teori, som jeg netop mangler at bevise... hvordan gør man det?

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. april 2007 af Waterhouse (Slettet)

Jeg henviser til Højniveaumatematik 1, side 168-172, der indføres ln som stamfunktion til 1/x, hvorefter man ud fra dette vise logaritmereglerne. Senere defineres e^x så som invers til ln, og ud fra den defineres eksponentialfunktionerne a^x. På den led kan man vise de velkendte potensregler vha. logaritmer.

Svar #4
29. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Underlig rækkefølge.. Beviset for at d(lnx)/dx = 1/x hviler netop på e^x.
Jeg vil gøre sådan her:
ln x = y
x=e^y
dx/dy=e^y og 1/(e^y) = dy/dx = 1/x

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. april 2007 af Waterhouse (Slettet)

Tja, man kan også starte med at definere ln(x) som stamfunktion til 1/x. Ud fra dette kan man dels vise logaritmeregnereglerne (uden at benytte potens-begrebet, men kun vha. infinitesemalregning), og dels vise at ln er strengt voksende, og derfor må have en invers funktion. Tallet e defineres ved sammenhængen ln(e)=1. Kalder man så ln's inverse for exp, kan man vise at e^n=exp(n) for naturlige n. Vi definerer så

e^x = exp(x) = ln^(-1)(x)

og generelt vælger vi

a^x = exp^(ln(a^x))

Ud fra den definition kan man så utvetydigt bevise potensregnereglerne som jeg gjorde ovenfor.

Svar #6
29. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#5 Men det er faktisk ret utroligt at man skal bruge de regler for at bevise noget så simpelt som potens-regler :)

Svar #7
29. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Hvordan bevises ln(a^n * a^m)] = ln(a^n)+ln(a^m) for R ?

Skriv et svar til: Bevis for R

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.