Matematik
Bevis R
01. maj 2007 af
stræber-pigen (Slettet)
Hvordan beviser man at a^n * a^m = a^n+m.
Jeg blev altså nødt til at oprette det samme indlæg igen, da det forsvandt!
Beviset for de naturlige tal er nemt, jeg mangler bare beviset for de reelle tal.
Sidst nåede vi frem til at
a^n * a^m =
e^[ln(a^n * a^m)] =
e^[ln(a^n)+ln(a^m)] =
e^[n*ln(a)+m*ln(a)] =
e^[(n+m)*ln(a)] =
e^[ln(a^(n+m))] =
a^(n+m)
Men hvordan bevises ln(a^n * a^m)] = ln(a^n)+ln(a^m) for R ?
Jeg blev altså nødt til at oprette det samme indlæg igen, da det forsvandt!
Beviset for de naturlige tal er nemt, jeg mangler bare beviset for de reelle tal.
Sidst nåede vi frem til at
a^n * a^m =
e^[ln(a^n * a^m)] =
e^[ln(a^n)+ln(a^m)] =
e^[n*ln(a)+m*ln(a)] =
e^[(n+m)*ln(a)] =
e^[ln(a^(n+m))] =
a^(n+m)
Men hvordan bevises ln(a^n * a^m)] = ln(a^n)+ln(a^m) for R ?
Svar #1
01. maj 2007 af holretz (Slettet)
Det du spørger om er jo ikke beviset for potenssætningen men beviset for logaritmeregnereglen...
Svar #4
01. maj 2007 af sheaf (Slettet)
Jeg har endnu ikke forstået titlen på de af dine indlæg, der drejer sif om dette emne.
Med hensyn til regelen afhænger det af de definitioner du har til rådighed om den skal vises eller gælder per definition.
Defineres logaritmefunktionerne som de monotone funktioner f:R+->R hvorom gælder at f(1)=0 og f(ab)=f(a)+f(b) er der ikke noget at vise.
Har man derimod til sin rådighed definitionen på eksponentialfunktioner kan man definere logaritmefunktionerne som deres inverse.
I sidstnævnte tilfælde betyder det, at logaritmen af et positivt tal x i base b, skrevet log_b(x), er den eksponent der tilfredsstiller x = b^log_b(x).
Og så følger reglen at logaritmen til et produkt er lig summen af logaritmerne til faktorerne, som følger:
Givet to tal
x=b^log_b(x), y=b^log_b(y)
findes produktet
xy = b^log_b(x)*b^log_b(y)
= b^(log_b(x)+log_b(y)) [addition af eksponenter for samme base] (*)
Af definitionen ovenfor haves
xy=b^log_b(xy) (**)
Ligheden mellem (*) og (**)
b^log_b(xy) = b^(log_b(x)+log_b(y))
tillader os at slutte, at eksponenterne er ens, d.v.s.
log_b(xy) = log_b(x)+log_b(y)
Med hensyn til regelen afhænger det af de definitioner du har til rådighed om den skal vises eller gælder per definition.
Defineres logaritmefunktionerne som de monotone funktioner f:R+->R hvorom gælder at f(1)=0 og f(ab)=f(a)+f(b) er der ikke noget at vise.
Har man derimod til sin rådighed definitionen på eksponentialfunktioner kan man definere logaritmefunktionerne som deres inverse.
I sidstnævnte tilfælde betyder det, at logaritmen af et positivt tal x i base b, skrevet log_b(x), er den eksponent der tilfredsstiller x = b^log_b(x).
Og så følger reglen at logaritmen til et produkt er lig summen af logaritmerne til faktorerne, som følger:
Givet to tal
x=b^log_b(x), y=b^log_b(y)
findes produktet
xy = b^log_b(x)*b^log_b(y)
= b^(log_b(x)+log_b(y)) [addition af eksponenter for samme base] (*)
Af definitionen ovenfor haves
xy=b^log_b(xy) (**)
Ligheden mellem (*) og (**)
b^log_b(xy) = b^(log_b(x)+log_b(y))
tillader os at slutte, at eksponenterne er ens, d.v.s.
log_b(xy) = log_b(x)+log_b(y)
Skriv et svar til: Bevis R
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.