Matematik

Rumgeometri problener

08. maj 2007 af sundancekid (Slettet)

Jeg ønsker hjælp til disse to opgaver der stammer fra eksamensopg mat a:
2.037
'I et koordinatsystem i rummet er givet 3 planer med ligningerne:
1) 2x-y+2z=3
2) 3x+2y+z=2
3) x-4y+3z=4
Gør rede for at de 3 planer har netop én linje til fælles (angivet som parameterfrem.)'

Jeg har fundet linjen der gælder for 1) og 2) og fået:
x = 5t
y = 1-4t
z = 8-7t

og så har jeg forsøgt at finde linjen for 2) og 3) og håbet på at finde den samme retningsvvektor men det ser ikke rigtigt ud og jeg er i tvivl om det overhovedet er medtoden
_______________________
opg. 2.043
' I et koordinatsystem er givet 3 punkter
A(0,0,1) , B(1,-1,2) OG C(0,4,0)
bestem en ligning for den plan, der indeholder trekant ABC'
parameterfremstillingen har jeg fået til:
x=0+s*1+t*0 = s
y=4+s*(-1)+t*4 = 4-s+4t
z=0+s*2+t*(-1)= -s-t

Men i omskrivningen til ligning går der noget galt
Jeg får ligningen til
5x+y+4z=4
Og det passer med A og C, men ikke med B

På forhånd tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. maj 2007 af Mandelbrot (Slettet)

opg. 2.043

Du har lavet en fejl i parameterfremstillingen.

Det ser ud som om, at du har brugt vektor AB og AC og indsat punkt C??

Hvis du bruger vektor AB og AC SKAL du bruge punkt A. Desuden har du lavet en fejl i udregningen af vektor AB.

Svar #2
08. maj 2007 af sundancekid (Slettet)

Okaj jeg kan godt se det med punktet
Men AB er den ikke (1,-1,1) ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. maj 2007 af Mandelbrot (Slettet)

#2

Jo.. Men det er da ikke det du har skrevet i #1

Svar #4
09. maj 2007 af sundancekid (Slettet)

Okaj så har jeg styr på den opgave :)
så det bare den øverste det kniber med

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. maj 2007 af peter lind

Du sætter simpelthen parameterfremstillingen ind i den sidste ligning. Hvis linien ligger på planen skal ligningen gælde for alle t eller med andre ord: t skal udgå.

Gør du det i den første ligning, vil du se at der holder det ikke, så din parameterfremstilling er forkert.

Svar #6
09. maj 2007 af sundancekid (Slettet)

Parameterværdierne for linjen for jeg til:
y = (1-4t) / 5
(2t-y+2z-6t-4y-2z=3-4 => -4t-5y=-1 => y = 1-4t/5)

z = (8-7t)/5
(2t - ((1-4t)/5)+2z=3 => 10t-1+4t+10z=15 => 10z=16-14t => z = 16-14t/10 => 8-7t/5)

og jeg har sat x = t

Jeg har så ganget parameterfremstillingen i gennem med 5 for at få nogen pænere tal
x = 5t
y = 1-4t
z = 8-7t

Ved ikke hvor det går galt :S

Svar #7
09. maj 2007 af sundancekid (Slettet)

Men t går da ud med hinanden når jeg regner det efter

10t-1+4t+16-14t-3=0 = 12
15t+2-8t+8-7t-2 =0 = 8
5t-4+16t+24-21t-4=0 = 16

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. maj 2007 af peter lind

men 0 er mig bekendt ikke det samme som 12, 8 eller 16. Det betyder at dine koefficienter til t er korrekt, men konstanterne er ikke. Du har fundet parameterfremstillingen for en linje, der er paralel med den søgte.

Jeg kan slet ikke gennemskue hvordan du har fundet parameterfremstillingen. Det nemmeste vil nok være at gøre følgende:

eliminer en af variablene for eks. z af de 2 første ligninger. Dette giver en sammenhæng mellem de 2 resterende varable, hvis de skal ligge på linien.

Set en af variablene til et eller andet. Det nemmeste vil nok være at sætte den til 0.

Brug den nye ligning til at finde den anden variabel.
Brug ligning 1 eller 2 til at finde den 3 variabel.
Du har dermed fundet et punkt på linien.

Gentag processen for at finde et andet punkt. Det vil nok være nemmest at sætte den anden variabel til 0.

Du har nu 2 punkter på linien og så skulle det være nemt at finde ligningens parameterfremstilling.

Hvis du har fundet retningen af linjen behøver du kun finde et punkt.

Med det du har kan du også gøre følgende:

x = 5t: y = a -4t: z = b - 7t. Brug disse værdier i ligning 1 og 2. Det giver 2 ligninger med 2 ubekendte, som du kan løse.
Den metode kan også bruges på koefficienterne til t. Det er måske nemmere.

Skriv et svar til: Rumgeometri problener

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.