Ligning for en plan (opg 2039)

krydsproduktet mellem linjens retningsvektor [1,2,-2] og vektor [4-3,4-2,2-1] er normalvektor for den søgte plan

Brug dette her:
Planen med normalvektoren n = A*i+B*j+C*k og som passerer gennem punktet P=(4,4,2) med stedvektoren ro, har ligningen:

n*(r-ro) altså prikproduktet af de to vektorer. Det kan også skrives:

A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) i skalær form.

V.h.
Erik Morsing.

Men hvad så når man har normalvektoren? Man skal jo finde en ligning..

#2
Forstår ikke helt den ligning du har skrevet (n = A*i+B*j+C*k) hvad er A fx? eller j??

#3
prikproduktet mellem den fundne normalvektor til planen og en hvilken som helst vektor i planen er 0

med fixpunktet F(3,2,1) som begyndelsespunkt og et hvilket som helst fra F forskelligt men i planen beliggende variabelt punkt P(x,y,z) som endepunkt

kan

den variable vektor skrives vektor_FP(x-3,y-2,z-1)

OK, jeg glemte blot at skrive = 0,
n'(r-ro) = 0

OK

Erik Morsing.

...har du beregnet normalvektoren?...

Formlen for planen skulle du gerne kunne forstå baggrunden for. Man starter med en positionsvektor til planen. Forestil dig, at du sidder i din stue. Det er dit koordinatsystem. Så kaster du et stykke pap op i luften. Nu tager en et billede (en fastfrysning) af begivenheden. Så forestiller vi, at papstykket repræsentere den plan, vi skal beskrive fra det koordinatsystem, vi selv sidder i. På planen bor kun fladboere, de har så at sige mistet en frihedsgrad ved at blive slynget op i luften.
Nu tager vi en vilkårlig vektor forskellig fra 0. Den kalder vi n1. Læg mærke til, at det ikke er normalvektoren, blot en vilkårlig vektor.

Så tager vi fat i stedvektoren fra vores eget udgangspunkt, origo til et punkt på planen, den kalder vi P0=(xo*i+yo*j+zo*k).
Så kommer det store spørgsmål:
Eksisterer der nøjagtigt eet plan (altså vores fladland, papstykket), der passerer gennem P0 og er vinkelret på n?
Ja, det gør der! Vi har nu punktet P0 samt et vilkårligt punkt P, der begge ligger på planen, så PoP = r-ro (tegn det op!!) Denne vektor er kun vinkelret på normalvektoren n, hvis prikproduktet n*(r-ro)=0.
Herfra skal du udregne et vilkårligt prikprodukt, inden du går videre. Ellers lærer du ikke noget

Regnet ud får du ligningen for planen:
A(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-zo)=0. LIGNING 1
Ganger du ud og samler konstanterne, kan ligningen skrives på den lidt mere bekvemme form:
A*x+B*y+C*z=D.
Normalvektoren er så lig:
A*i + B*j + C*k
Det kom jo fra vores udregning af prikproduktet.
Ligning 1 er altså den søgte ligning for planen. Så skal du sætte det kendte punkt ind i ligningen...


og herfra må du klare det, jeg vil i almindelighed kun give uddybende forklaringer og hints ikke lave hele opgaven.

Det gælder også de, der skal have oversat, hvis nogen skulle se dette her.

V.h.
Erik Morsing.