Matematik
Differentiabel Funktion
Hvis der fx står, "vi antager at funktionen er differentiabel" Betyder det så bare at den kan differentieres? Kan alle funktioner ikke det?
Og lige til sidst...Kontinuert..betyder det bare sammenhængende funktion, altså uden nogle "spring"?
Svar #1
09. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)
De præcise definitioner står i din matematilbog. Men ellers kan du bruge:
Den afledede af en funktion f er en anden funktion f' defineret ved
f'(x) = lim((f(x+h)-f(x))/h for h gående mod 0 i alle punkter af x, for hvilke grænseværdien eksisterer (d.v.s er et endeligt reelt tal) Hvis f'(x) eksisterer, siger vi, at f er differentiabel i x
Svar #2
09. juni 2007 af mathon
supplement til #1
For at få en intuitiv forståelse kan du bruge følgende "definitioner" af kontinuitet og differentiabilitet:
kontinuitet: en funktion er kontinuert, hvis den er sammenhængende.
differentiabilitet: en funktion er differentiabel hvis der findes en tangent til grafen i alle punkter.
Det er IKKE korrekte matematiske definitioner, men giver en intuitiv forståelse som en slags "tommelfingerregler"
Svar #3
09. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)
((f(x+h)-f(x))/h = ((x+h)^2-x^2))/h. Det udregner vi:
(x^2+2*x*h+h^2-x^2)/h = ((2*x*h+h^2)/h lig med, når vi forkorter med h:
2*x+h, og det går mod 2*x, når h går mod nul, så differentialkvotiente, df(x)/dx = 2*x
Du skal også lægge mærke til, at der er mange forskellige betegnelser på differentialkvotienten(kært barn har mange navn!)
Prøv selv med et par andre eksempler:
f(x) = x^3 og en lidt sværere g(x) = sin(x)
Svar #4
09. juni 2007 af Riemann
Lige en rettelse (jeg går ud fra at det bare er en tastefejl)
I stedet for
'løst sagt er en funktion differentiabel, hvis den er "sammenhængende" '
burde der have stået
'løst sagt er en funktion kontinuert, hvis den er "sammenhængende" '
Det er let at lave sammenhængende (kontinuerte) funktioner, der ikke er differentiable.
Svar #5
10. juni 2007 af Pipi (Slettet)
I skriver at en funktion er differentiabel hvis der er en tangent til grafen i alle punkter...men også at det er let at lave en kontinuert funktion der ikke er sammenhængdende...Er der netop ikke en hælkdning alle steder på grafen hvis den er sammenhængende? For er dette tilfældet kan man da ikke have en kontinuert funktion som ikke er differentiabel..
Tror jeg skal havde skåret det helt ud i pap :)
Svar #6
10. juni 2007 af Waterhouse (Slettet)
f(x)=|x|
Det er nemt nok at se at den er kontinuert over det hele (for alle x0 går f(x) mod f(x0) når x->x0). Hvis vi imidlertid ser på x=0, ser vi, at den ikke er differentiabel her - lader vi x gå mod 0 fra venstre, vil tangenthældningen være -1, men lader vi x gå mod x0 fra højre, vil tangenthældningen være 1. Hvis f skal være differentiabel, skal tangenthældningen være den samme fra højre og venstre, så |x| er ikke differentiabel i 0 (men i alle andre punkter).
Svar #7
10. juni 2007 af Duffy
Joh, alle funktioner der er differentiable kan i princippet differentieres.
Hvis en funktion er differentiabel i et punkt xo
("x-nul"), så gælder der at
lim{h->0-}((f(xo+h)-f(xo))/h = lim{h->0+}((f(xo+h)-f(xo))/h
----------------------------------
Og lige til sidst...Kontinuert..betyder det bare sammenhængende funktion, altså uden nogle "spring"?
Jah,
Kontinuert funktion = sammenhængende funktion
------------------------------------
Der gælder endvidere følgende kæde:
differentiabel i xo => kontinuert i xo => grænseværdi i xo.
(Man kan ikke slutte den anden vej).
Svar #8
10. juni 2007 af Madsst (Slettet)
kontinuert i x0 => grænseværdi i x0
vist ikke...
Svar #11
10. juni 2007 af Duffy
Jeg er ikke med.
Hvad er det du prøver at sige?
En funktion der er kontinuert i xo har indlysende klart en grænseværdi i xo.
Derfor gælder at hvis
f er kontinuert i xo => f har en grænseværdi i x0
kort:
"kontinuert i xo => grænseværdi i xo ".
BEMÆRK AT MAN IKKE KAN SLUTTE DEN ANDEN VEJ!!
Svar #12
10. juni 2007 af Riemann
Jeg har ikke skrevet "at det er let at lave en kontinuert funktion der ikke er sammenhængende"
Jeg skrev, at det var let at lave en kontinuert funktion, der ikke var differentiabel. Det er noget helt andet.
I den løse fortolkning af begreberne betyder dette, at man kan have en sammenhængende funktion, hvor man ikke kan finde een tangent i ethvert punkt på grafen til den givne funktion (se eksemplet i #6).
Svar #13
12. juni 2007 af Pipi (Slettet)
Men nu tror jeg faktisk jeg har forstået det...Havde vidst lige fået byttet rundt på nogle ting oppe i mit hoved. Tusind tak for den store hjælp.
Skriv et svar til: Differentiabel Funktion
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.