Matematik

Familie af funktion

12. september 2007 af nightvisionz (Slettet)

En funktion f er bestemt ved
f(x)=x³+bx²+3x+4

Bestem de værdier af b, for hvilke f er en voksende funktion.

Hvad skal jeg gøre med denne? Jeg overvejede at finde f'(x), og finde ud af for hvilke b-værdier d>0, derefter finde F'(x), men jeg er langt fra sikker...

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. september 2007 af mathon

kravet er f'(x)>0....

Svar #2
12. september 2007 af nightvisionz (Slettet)

Altså jeg kan jo ikke bare skrive løs(3x²+2bx+3 = 0 , x) på lommeregneren :P

Prøvede at finde d, og får følgende:
d=b²-4ac <=> d=(2b)²-4*3*3
Hvis d skal være større end 0:
b=sqrt(9)

Svar #3
12. september 2007 af nightvisionz (Slettet)

Der skulle stå:
b>sqrt(9)

Svar #4
12. september 2007 af nightvisionz (Slettet)

Ahh okay..

Så F'(x)=x³+3x²+3x+4, og hvis b bliver større end b, vil funktionen aftage.

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. september 2007 af Civilingeniøren (Slettet)

Som marhon skriver så er det løsningen for f'(x)>0 du jagter, men da du ikke kender b er det ikke muligt at løse denne ulighed (en ligning, to ubekendte). Du er dog inde på noget af det rigtige med at finde diskriminanten d. Kan du fortælle mig hvorfor?

Svar #6
12. september 2007 af nightvisionz (Slettet)

Fordi diskriminanten afgør antal løsninger for en andengradsligning.

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. september 2007 af Civilingeniøren (Slettet)

# 4

Du er inde på noget af det rigtige, men hvad hvis b = -10? Så aftager f(x) også...

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. september 2007 af Civilingeniøren (Slettet)

# 6

Det er rigtigt, men hvorfor må andengradsligningen ikke have to løsninger i denne opgave?

Svar #9
12. september 2007 af nightvisionz (Slettet)

Godt spørgsmål. Hmm tror det var rent held at jeg lige ramte tallet 3 (som giver et rigtigt resultat).

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. september 2007 af Civilingeniøren (Slettet)

Forklaringen ligger i, at din parabel er et udtryk for monotoniforholdene (om funktionen vokser eller falder) for f(x). Når funktionsværdien for parablen er positiv stiger f(x) og når den er negativ aftager f(x). Din opgave er altså at sørge for, at f'(x)>0 for alle x-værdier.

Da koefficienten foran x^2 for f'(x) er positiv ved vi at parablen altid vender benene opad. Nu skal vi blot sørge for, at den aldrig skærer x-aksen (så blive hældningen for f(x) jo negativ). Her er det oplysningen om diskriminanten kommer ind i billedet. For d0 vil f'(x) altid være positiv og funktionen f(x) vil dermed aldrig aftage :-)

Giver det mening? ;-)

Svar #11
12. september 2007 af nightvisionz (Slettet)

Absolut :) Tusind tak

Brugbart svar (0)

Svar #12
12. september 2007 af Civilingeniøren (Slettet)

Så du er også enig med mig i at løsningen er b € ]-3;3[ ??

€ = tilhører

Svar #13
12. september 2007 af nightvisionz (Slettet)

Jeps, som jeg selv skrev:
b>sqrt(9)

Altså b > 3 , b < -3

Brugbart svar (0)

Svar #14
12. september 2007 af Civilingeniøren (Slettet)

Super ;-)

Svar #15
12. september 2007 af nightvisionz (Slettet)

Hmm på den anden side, er det så ikke b € [-3;3]? Eftersom 3 vel også er en løsning? 3 er vel der hvor grafen har vandret vendetanget, men grafen er jo stadig voksende :P

Brugbart svar (0)

Svar #16
12. september 2007 af Civilingeniøren (Slettet)

Her kan der argumenteres for og imod...

Hvis man tager ordet "voksende" bogstaveligt, så gælder -3 og 3 ikke med, idet funktionen vil have to x-værdier, i hvilke den ikke vokser. Omvendt kan man (med sindsro) sige, at funktionen er "ikke-faldende" for alle x-værdier for b € [-3; 3].

Hvis jeg rettede opgaven ville jeg være ligeglad om du havde skrevet inkl. eller eksl. -3 og 3, hvis du bare havde forklaret hvordan du var nået frem til resultatet... men det skal jeg ikke :-)

Brugbart svar (0)

Svar #17
13. september 2007 af sheaf (Slettet)

Hvad der er det korrekte svar afhænger udelukkende af den valgte definition på voksende. Definitionen er een af to mulige: hvis det for alle x,y gælder, at hvis x ? y så er f(x) ? f(y) så er f voksende, hvor ? enten er < (strengt voksende) eller <=. Hvis det er det sidstnævnte skal +/-3 medregnes ellers ikke.

Diskriminantbemærkningerne i #10 er ikke korrekte.

Skriv et svar til: Familie af funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.