5^?

Antag 5^0,5 = a/b, hvor a og b tilhører N.
5=a^2/b^2
5b^2 =a^2. a^2 er ulige, så a er ulige.
b^2 er også ulige så b er ulige. Men to ulige tal i nævner og tæller giver ikke en uforkortelig brøk, altså er der modstrid.

Hermed er 5^0,5 irrationalt.

#1 Det, du viser, er, at 5^0,5 ikke er rationalt. Du viser ikke, at 5^0,5 er irrationalt eller reelt. - Det har vi i øvrigt snakket så meget om! :)

#0 Din opgave må være at vise at 5^0,5 ikke findes indenfor Q.

Det forholder sig således, at hvis n og q er naturlige tal, så giver n^(1/q) enten et naturligt tal eller et tal, der er irrationalt.

Vi kan bevise, at n^(1/q) ikke findes indenfor Q, hvis det ikke er naturligt.
Vi kan antage, at n^(1/q) giver et rationalt tal {a/b | a og b tilhører N}.
Tallene a og b er indbyrdes primiske.
n^(1/q) = a/b som er ækvivalent med n = a^q/b^q. Venstre side er et naturligt tal, ergo er den højre side et naturligt tal. Da a og b er indbyrdes primiske er a^q og b^q indbyrdes primiske. Arimetikkens fundamentalsætning giver os, at a/b = p1^a1 * ... * pr^ar / P1^a1 * ... * Pr^ar. Primtallene i dividenden findes ikke i divisoren, da brøken er uforkortelig. Hermed kan a^q/b^q ikke vøre et naturligt tal, ergo er vores antagelse falsk, hvilket medfører, at n^(1/q) ikke kan eksistere indenfor Q.
Antagelsen er sand i to tilfælde; når a^q er et multiplum af b^q. Hermed skal b^q = 1 eller a^q. Hvis b^q = a^q => n=1, og hvis b^q=1 => n=a^q. Det betyder, at n giver et naturligt tal.

At fx 2^0,5 faktisk er reelt (og hermed irrationalt) kan du se i linket
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=417564

#2 Ja.. det var også det jeg mente.. :)