Matematik
x^2=2 - har ingen rational løsning..
02. juni 2004 af
Tobbe (Slettet)
Hej!
Jeg sidder og forbereder mig til mundtlig eksamen i 1.g mat. og vil lige vide om det jeg har gjort er rigtigt:
x^2=2 - har ingen rational løsning fordi:
Du har et kvadrat ABCD hvor AC er diagonalen og AB er siden.
AB/AC=p/q hvor p/q er en uforkortelig brøk. Derfor gælder det også at
(AC)^2/(AB)^2=p^2/q^2
Trekant ABC er retvinklet, så (AC)^2=(AB)^2+(BC)^2. Om p og q gælder derfor:
p^2/q^2=(AC)^2/(AB)^2=(2AB)^2/(AB)^2=2
og dermed er p^2=2q^2
Heraf ses det at p^2 er et lige tal. Derfor må p nødvendigvis også være et lige tal, og vi kan skrive p=2n, hvor n er et helt tal, og det vil derfor gælde:
2q^2=(2n)^2=4n^2
eller
q^2=2n^2
q^2 må derfor være lige, og det må q også. Både p og q er altså lige tal og p/q kan forkortes med 2. Derfor er påstanden om at p/q skulle være forkortelig forkert, og AC og AB kan ikke være kommensurable (sammenlignelige).
x^2=2 kan derfor ikke løses indenfor de rationale tal.
*********
Det var så en ret lang tekst, og ved stadig ikke helt om opgaven er løst..
Tobbe
Jeg sidder og forbereder mig til mundtlig eksamen i 1.g mat. og vil lige vide om det jeg har gjort er rigtigt:
x^2=2 - har ingen rational løsning fordi:
Du har et kvadrat ABCD hvor AC er diagonalen og AB er siden.
AB/AC=p/q hvor p/q er en uforkortelig brøk. Derfor gælder det også at
(AC)^2/(AB)^2=p^2/q^2
Trekant ABC er retvinklet, så (AC)^2=(AB)^2+(BC)^2. Om p og q gælder derfor:
p^2/q^2=(AC)^2/(AB)^2=(2AB)^2/(AB)^2=2
og dermed er p^2=2q^2
Heraf ses det at p^2 er et lige tal. Derfor må p nødvendigvis også være et lige tal, og vi kan skrive p=2n, hvor n er et helt tal, og det vil derfor gælde:
2q^2=(2n)^2=4n^2
eller
q^2=2n^2
q^2 må derfor være lige, og det må q også. Både p og q er altså lige tal og p/q kan forkortes med 2. Derfor er påstanden om at p/q skulle være forkortelig forkert, og AC og AB kan ikke være kommensurable (sammenlignelige).
x^2=2 kan derfor ikke løses indenfor de rationale tal.
*********
Det var så en ret lang tekst, og ved stadig ikke helt om opgaven er løst..
Tobbe
Svar #1
02. juni 2004 af Niels (Slettet)
Hvorfor har x^2=2 iikke løses. Den må da give plus minus kvrod(2)
Svar #3
02. juni 2004 af Lurch (Slettet)
den kan godt løses, men løsningen er ikke rationel, dvs. er ikke mulig at opskrive på brøkform.
Svar #5
02. juni 2004 af Lurch (Slettet)
Beviset er rigtigt nok, dog lidt besværligt med kvadrater og trekanter. DU kan nøjes med at antage at KVROD(2) er rationelt, altså KVROD(2)=p/q, hvor p og q er hele tal
Skriv et svar til: x^2=2 - har ingen rational løsning..
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.