y*x=1 skal skrives som: (x²/a²)-(y²/b²)=1???

prøv at skrive 1 som b^2/b^2, og skriv lidt om på det

Du får svært ved at gennemføre omskrivningen! Jeg har fået grafregneren til at vise grafer for udtrykket (x²/a²)-(y²/b²)=1, som jeg omskrev til y=+/-b*sqrt(x²/a²-1), hvilket tilsyneladende ganske rigtigt giver en hyperbel, men symmetriaksen er x-aksen, mens symmetriaksen for y=a/x er proportionaliteten y=x.

Med andre ord skal et af udtrykkene roteres 45 grader før de kan sammenlignes!

OK rpøver jeg på, har godt læst lidt om omregning af koordinater og drejning af koordinatsystem, men er kommet til hvor jeg skal prøve at lave den nye lignng er der jeg kommer til et stop..?

Jeg er kommet igennem, så vidt jeg selv kan se... Det er ikke opløftende læsning, da det bliver nogle lange udtryk :)

Rotationen ser ud som følger:

R-45(x,y) = (x*cos(-45)-y*sin(-45), x*sin(-45)+y*cos(-45))

og da sqrt(2)/2 = cos(-45) = -sin(-45), kalder jeg nu dette tal for r (bemærk at r²=½):

R-45(x,y) = (rx+ry,ry-rx)

Nu tager man et punkt på y = k/x og roterer det. Sådan et punkt har koordinatsæt (x, k/x), hvorfor man opnår:

R-45(x,k/x) = (rx+rk/x,rk/x-rx)

Spørgsmålet er nu, om der findes tal a og b, så disse roterede koordinater opfylder ligningen:

(rx+rk/x)²/a²-(rk/x-rx)²/b² = 1

Her må vi have udregnet parenteserne:

(rx+rk/x)² = r²x²+2r²k+r²k²/x² = ½x²+k+½k²/x²

og

(rx-rk/x)² = r²x²-2r²k+r²k²/x² = ½x²-k+½k²/x²

Jeg ved godt, det er besværligt at læse, men lad os nu se:

(rx+rk/x)²/a²-(rk/x-rx)²/b² = [b²(½x²+k+½k²/x²)-a²(½x²-k+½k²/x²)]/(a²b²)

Den eneste måde hvorpå et så avanceret udtryk kan være konstant lig 1, er hvis b=a, hvorved samtlige led med x forsvinder:

[a²(½x²+k+½k²/x²)-a²(½x²-k+½k²/x²)]/(a²a²) = 2k/a²=1

Altså viser det sig, at det heldige valg b=a giver os den information, at med a = b = sqrt(2k) har ligningen y = k/x efter en rotation på -45 grader præcis samme løsninger som x²/a²-y²/b²=1. (Det vil jeg lige prøve på min lommeregner)

Udtrykket y=+/-b*sqrt(x²/a²-1) kan nu også forenkles til y=+/-sqrt(x²-2k), hvilket jeg netop har fået min lommeregner til at tegne sammen med grafen for y=k/x og testet for et par forskellige værdier af k. Det ser sørme ud til at passe - jeg plejer ellers næsten altid at lave dumme regnefejl undervejs. Det ligner perfekt, at grafen for y=k/x bliver roteret 45 grader med uret...

ok mange tak..