Matematik
Begrebet ellipsetangent samt relevante beviser
16. december 2007 af
Kongjulian (Slettet)
Hej
Jeg blandt andet blevet stillet følgende opgave:
Indfør begrebet ellipsetangent og bevis nogle relevante sætninger.
Mit problem er imidlertid at jeg intet anede om ellipser i forvejen og jeg formår ikke at lære mig selv beviset for ellipse tangenten - jeg kan simpelthen ikke følge alle ledene.
Er der nogen der har nogle tips eller tricks bevis for hvorledes tangentligningen for en ellipse udledes samt hvorledes "nogle" relevante sætninger bevises?
Jeg blandt andet blevet stillet følgende opgave:
Indfør begrebet ellipsetangent og bevis nogle relevante sætninger.
Mit problem er imidlertid at jeg intet anede om ellipser i forvejen og jeg formår ikke at lære mig selv beviset for ellipse tangenten - jeg kan simpelthen ikke følge alle ledene.
Er der nogen der har nogle tips eller tricks bevis for hvorledes tangentligningen for en ellipse udledes samt hvorledes "nogle" relevante sætninger bevises?
Svar #1
16. december 2007 af mathon
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 eller
b^2*x^2 + a^2*y^2 = a^2*b^2, der differentieres implicit med hensyn til x
2b^2x + 2a^2y*dy/dx = 0, der divideret med 2 giver
b^2x + a^2y*dy/dx = 0
og
dy/dx = -(b^2/a^2)*(x/y) eller
f'(xo) = -(b^2/a^2)*(xo/yo)
den almene tangentligning giver:
y-yo = f'(xo)(x-xo), hvoraf
y-yo = -(b^2/a^2)*(xo/yo)(x-xo) eller
a^2yo*(y-yo) = -(b^2xo)(x-xo)
a^2yo*y - a^2yo^2 = -b^2xo*x + b^2xo^2, der ved omrokering giver
b^2xo*x + a^2yo*y = b^2xo^2 + a^2yo^2
b^2xo*x + a^2yo*y = a^2*b^2, der divideret med a^2*b^2
giver
xo*x/a^2 + yo*y/b^2 = 1
b^2*x^2 + a^2*y^2 = a^2*b^2, der differentieres implicit med hensyn til x
2b^2x + 2a^2y*dy/dx = 0, der divideret med 2 giver
b^2x + a^2y*dy/dx = 0
og
dy/dx = -(b^2/a^2)*(x/y) eller
f'(xo) = -(b^2/a^2)*(xo/yo)
den almene tangentligning giver:
y-yo = f'(xo)(x-xo), hvoraf
y-yo = -(b^2/a^2)*(xo/yo)(x-xo) eller
a^2yo*(y-yo) = -(b^2xo)(x-xo)
a^2yo*y - a^2yo^2 = -b^2xo*x + b^2xo^2, der ved omrokering giver
b^2xo*x + a^2yo*y = b^2xo^2 + a^2yo^2
b^2xo*x + a^2yo*y = a^2*b^2, der divideret med a^2*b^2
giver
xo*x/a^2 + yo*y/b^2 = 1
Svar #2
16. december 2007 af Kongjulian (Slettet)
Mange tak
det er mig dog en smule uklart hvordan du kommer fra
b^2xo*x + a^2yo*y = b^2xo^2 + a^2yo^2
til
b^2xo*x + a^2yo*y = a^2*b^2
det er mig dog en smule uklart hvordan du kommer fra
b^2xo*x + a^2yo*y = b^2xo^2 + a^2yo^2
til
b^2xo*x + a^2yo*y = a^2*b^2
Skriv et svar til: Begrebet ellipsetangent samt relevante beviser
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.