Cirkel gennem 3 punkter

Der er flere muligheder.

fx.

1. 3 ligninger med 3 ubekendte.

2. Centrum ligger på alle 3 midtnormaler.

Jeg havde faktisk lavede den men gættede mig til centrumet ved at prøve med passer, men det duer ikke jeg skulle have beregning.. Hvordan laver man eller sætter man 3 ligninger med 3 ubekendte...

Du har punkterne A(3,1), B(4,0) og C(0,-2), samt ligningen (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 for en cirkel med centrum i (a,b) og radius r.

Sættes det første punkt ind, får vi ligningen

(3-a)² + (1-b)² = r².

Det næste punkt giver ligningen

(4-a)² + (0-b)² = r² <=> (4-a)² + b² = r²,

og det tredje punkt giver ligningen

(0-a²) + (-2-b)² = r² <=> a² + (2+b)² = r².

Dette ligningssystem kan du så løse, og derved finde centrum og radius for den cirkel, der går igennem alle tre punkter. Dette er dog en ret tidskrævende løsningsmetode, da ligningerne ikke er helt trivielle, idet de indeholder led af anden orden.

Det ville sandsynligvis være lettere at betragte de tre midtnormaler. Du bruger dog kun to af dem, og så den tredje som kontrol. Lad os starte med midtnormalen til liniestykket AB. Denne skal have hældningen 1/d, hvor d er hældningen af linestykket AB (det må du lige selv regne ud!) Desuden går den i gennem punktet [(a_1+b_1)/2,(a_2+b_2)/2], som ligger midt på liniestykket AB. Dermed kan du finde en ligning for denne midtnormal. Derefter kan du finde en ligning for midtnormalen til en af de to andre sider. Til sidst beregner du så skæringspunktet mellem disse to linjer, for derved at finde centrum for den søgte cirkel. Radius i cirklen findes vha. afstandsformlen, ved at beregne afstanden fra det fundne centrum til et af de tre punkter.

...til beregningskontrol
eller
alternativt
såfremt TI-89 haves:
se
http://peecee.dk/upload/view/90075

Ja, har man et CAS-værktøj til rådighed, er det en oplagt mulighed at gøre som mathon gør. Man må nok vide lidt mere om determinanter, end man lærer i gymnasiet, før man kan beregne en 4 x 4 determinant i hånden.