Ligning for Plan, d?

Vektoren n=(a,b,c) er normalvektor til planen. Dvs. at vektorer, der forløber mellem to punkter i planen, står vinkelret på n. Hvis man nu tager et vilkårligt punkt p=(x,y,z) i planen og betragter prikproduktet mellem dette punkt forstået som stedvektor og normalvektoren n, så får man:

p*n = ax+by+cz = -d

For at forstå betydningen af dette, er fidusen nu, at man kan opdele p i to vektorer, p = v1+v2, hvor den ene vektor står vinkelret på n, mens den anden vektor er parallel med n. Lad os sige, at v1 skal stå vinkelret på n, mens v2 er parallel med den. Deraf fås:

v2 = t*n, hvor t er et tal, der skalerer n, og dermed giver en vektor parallel med den. Nu kan vi ved udregning se, at

p*n = (v1+v2)*n = v1*n+v2*n = 0+v2*n = t*n*n = t*|n|²

Sammenholder man dette med ligningen fra før, ser man, at

t*|n|² = -d, så t = -d/|n|²

Derfor kan vi også finde normen af v2, som er den vektor, der fortæller, hvor meget planen er forskudt fra at gå gennem (0,0,0). Forskydningen sker parallelt med normalvektoren n. Lad os finde ud af, hvor langt planen er forskudt i retning af normalvektoren:

|v2|² = t²*|n|² = -t*d = d²/|n|²

Derfor er normen af v2:

|v2| = |d|/|n|

Og hvorvidt v2 peger samme vej eller stik modsat af n kan ses udfra om t er positiv eller negativ, hvilket er helt op til tallet d, da:

t = -d/|n|², så t har modsat fortegn af d

Konklusion:
Planen givet ved ax + by + cz + d = 0 er en plan med normalvektor n = (a,b,c) som er forskudt |d|/|n| fra at gå gennem (0,0,0). Forskydningen sker i samme retning som n hvis d er negativ og i modsat retning af n, hvis d er positiv.

Tak for dit svar

Det var så lidt! Jeg syntes spørgsmålet var interessant, så jeg besluttede mig for at udlede ovenstående resultat...