Forskrift for 4. gradsligning

En 4. gradsligning har fem parametre, nemlig tallene a,b,c,d og k i udtrykket ax^4+bx^3+cx^2+dx+k=0.

Hvis de fire punkter på grafen for f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+k har koordinater (x1,y1) op til (x4,y4) kan man opstille fire ligninger med de fem ubekendte/parametre:

ax1^4+bx1^3+cx1^2+dx1+k = y1
ax2^4+bx2^3+cx2^2+dx2+k = y2
ax3^4+bx3^3+cx3^2+dx3+k = y3
ax4^4+bx4^3+cx4^2+dx4+k = y4

(De fire punkter SKAL være forskellige)

Men et ligningssystem på fire ligninger er ikke nok til at fastlægge fem ubekendte (der skal mindst én ligning mere til). Hvis vi nu kender tangenthældningen til ét af de fire punkter, lad os bare sige (x1,y1), og denne har værdien t, så ved vi yderligere, at f'(x1)=t. Dette giver:

4ax1^3+3bx1^2+2cx1+d = t

Nu har vi fem ligninger hvori a,b,c,d og k indgår - man skal bekymre sig fordi k ikke er med i det sidste udtryk. Nu kan man begynde at reducere ligningssystemet vha. "lige store koefficienters metode". Hvis jeg skal konkretisere det, kræver det et taleksempel.