Matematik
Beregning af længden på en hyperbels halvakser?
03. marts 2008 af
abn (Slettet)
___________
En hyperbel har to asymptoter, der er givet ved ligningerne:
y= 0,75x– 3,5 samt y= –0,75x – 0,5
a) Beregn koordinatsættet til hyperblens centrum.
Det oplyses endvidere, at hyperblens ene toppunkt er A1(6,–2) .
b)Beregn længden af hver af hyperblens halvakser.
c)Beregn den korteste afstand fra toppunktet A1(6,–2) til asymptoterne.
_______
Har fået a) til (2,-2)
Mit problem er nu, at jeg ikke aner hvordan jeg skal løse b)
Lidt kickstart ville være super :)
En hyperbel har to asymptoter, der er givet ved ligningerne:
y= 0,75x– 3,5 samt y= –0,75x – 0,5
a) Beregn koordinatsættet til hyperblens centrum.
Det oplyses endvidere, at hyperblens ene toppunkt er A1(6,–2) .
b)Beregn længden af hver af hyperblens halvakser.
c)Beregn den korteste afstand fra toppunktet A1(6,–2) til asymptoterne.
_______
Har fået a) til (2,-2)
Mit problem er nu, at jeg ikke aner hvordan jeg skal løse b)
Lidt kickstart ville være super :)
Svar #1
03. marts 2008 af mathon
C(2,-2)
|CA1| = 6-2 = a = 4
når
(x-2)^2/a^2 - (y+2)^2/b^2 = 1 er hyperblens ligning,
er
(x-2)^2/a^2 - (y+2)^2/b^2 = 0 ligning for hyperblens asymptoter
der omskrevet
giver
(y+2)^2/b^2 = (x-2)^2/a^2 og
y = (b/a)x -(2+(b/a)*2) = 0,75x– 3,5 for asymptoten med positiv hældningskoefficient,
hvoraf ses
b/a = 0,75 og
b = 0,75*a = 0,75*4 = 3
hyperbelen er således
(x-2)^2/4^2 - (y+2)^2/3^2 = 1
|CA1| = 6-2 = a = 4
når
(x-2)^2/a^2 - (y+2)^2/b^2 = 1 er hyperblens ligning,
er
(x-2)^2/a^2 - (y+2)^2/b^2 = 0 ligning for hyperblens asymptoter
der omskrevet
giver
(y+2)^2/b^2 = (x-2)^2/a^2 og
y = (b/a)x -(2+(b/a)*2) = 0,75x– 3,5 for asymptoten med positiv hældningskoefficient,
hvoraf ses
b/a = 0,75 og
b = 0,75*a = 0,75*4 = 3
hyperbelen er således
(x-2)^2/4^2 - (y+2)^2/3^2 = 1
Svar #2
04. marts 2008 af mathon
c) "Beregn den korteste afstand fra toppunktet A1(6,–2) til asymptoterne"
linjen y = -2, på hvilken A1(6,–2) ligger, er vinkelhalveringslinje til vinklen mellem asymptoterne (2*tan^-1(0,75) = 73,74°).
En vinkelhalveringslinje er det geometriske sted for de punkter, der har SAMME afstand til vinklens ben.
Da vinklens ben udgøres af de to asymptoter
l: y = 0,75x– 3,5
m: y = –0,75x – 0,5, er
dist(l,A1) = dist(m,A1)
kontrolberegning:
l: y = 0,75x – 3,5 <=> 3x-4y-14=0 med |normalvektor|=sqrt(3^2+(-4)^2) = 5
m: y = –0,75x – 0,5 <=> 3x+4y+2=0 med |normalvektor|=sqrt(3^2+4^2) = 5
dist(l,A1(6,–2)) = |3*6-4(-2)-14|/5 = 2,4
dist(m,A1(6,–2)) = |3*6+4(-2)+2|/5 = 2,4
linjen y = -2, på hvilken A1(6,–2) ligger, er vinkelhalveringslinje til vinklen mellem asymptoterne (2*tan^-1(0,75) = 73,74°).
En vinkelhalveringslinje er det geometriske sted for de punkter, der har SAMME afstand til vinklens ben.
Da vinklens ben udgøres af de to asymptoter
l: y = 0,75x– 3,5
m: y = –0,75x – 0,5, er
dist(l,A1) = dist(m,A1)
kontrolberegning:
l: y = 0,75x – 3,5 <=> 3x-4y-14=0 med |normalvektor|=sqrt(3^2+(-4)^2) = 5
m: y = –0,75x – 0,5 <=> 3x+4y+2=0 med |normalvektor|=sqrt(3^2+4^2) = 5
dist(l,A1(6,–2)) = |3*6-4(-2)-14|/5 = 2,4
dist(m,A1(6,–2)) = |3*6+4(-2)+2|/5 = 2,4
Skriv et svar til: Beregning af længden på en hyperbels halvakser?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.