Matematik
2. gradspolynomium - opgave
02. april 2008 af
allouise88 (Slettet)
Hej
Jeg har fået en opgave:
Om et 2. gradspolynomium oplyses, at det har rødderne 5 og 9, samt at punktet (7,4) ligger på dets graf.
Opskrive en forskrift for polynomiet.
--
Jeg går ud fra at et 2. gradspolynomium går på formen y = ax^2+bx+c. Men jeg kan ikke gennemskue hvordan jeg finder frem til a, b og c. Heller ikke ved hjælp af rødderne, der jo er resultatet af 2. gradsligningen.
Håber nogen vil hjælpe mig. Det skal dertil siges, at opgaven er uden hjælpemidler.
Vh AL.
Jeg har fået en opgave:
Om et 2. gradspolynomium oplyses, at det har rødderne 5 og 9, samt at punktet (7,4) ligger på dets graf.
Opskrive en forskrift for polynomiet.
--
Jeg går ud fra at et 2. gradspolynomium går på formen y = ax^2+bx+c. Men jeg kan ikke gennemskue hvordan jeg finder frem til a, b og c. Heller ikke ved hjælp af rødderne, der jo er resultatet af 2. gradsligningen.
Håber nogen vil hjælpe mig. Det skal dertil siges, at opgaven er uden hjælpemidler.
Vh AL.
Svar #1
02. april 2008 af KristofferFage (Slettet)
Vi har først formlen:
f(x) = a(x-r1)(x-r2), med hvilken vi kan finde a ved at sætte ind:
4 = a(7-5)(7-9)
4 = -4a
a = -1
- Ved at gange rødderne, som kan udtrykkes ved formlerne (-b+sqrt(d))/2a og (-b-sqrt(d))/2a med hinanden kan vi nå frem til følgende:
9 * 5 = (-b+sqrt(d))/2a * (-b-sqrt(d))/2a
45 = (b^2-d+b*sqrt(d)-b*sqrt(d))/4a^2
45 = (b^2-d)/4a^2, og da vi ved at d = b^2-4ac kan vi sætte dette ind:
45 = (b^2-(b^2-4ac))/4a^2
45 = b^2-b^2+4ac/4a^2
45 = 4ac/4a^2
45 = c/a, og da vi har at a = -1 får vi c til:
45 = c/-1 --> c = -45... Herefter er vores eneste ukendte b, og vi kan bare sætte det hele ind i en formel og vælge et af vores 3 koordinatsæt, her har jeg valgt (5,0).
0 = -x^2 + bx -45
0 = -25 + 5b -45
70 = 5b
b = 14, og det er således:
f(x) = -x^2+14x-45
Kristoffer
f(x) = a(x-r1)(x-r2), med hvilken vi kan finde a ved at sætte ind:
4 = a(7-5)(7-9)
4 = -4a
a = -1
- Ved at gange rødderne, som kan udtrykkes ved formlerne (-b+sqrt(d))/2a og (-b-sqrt(d))/2a med hinanden kan vi nå frem til følgende:
9 * 5 = (-b+sqrt(d))/2a * (-b-sqrt(d))/2a
45 = (b^2-d+b*sqrt(d)-b*sqrt(d))/4a^2
45 = (b^2-d)/4a^2, og da vi ved at d = b^2-4ac kan vi sætte dette ind:
45 = (b^2-(b^2-4ac))/4a^2
45 = b^2-b^2+4ac/4a^2
45 = 4ac/4a^2
45 = c/a, og da vi har at a = -1 får vi c til:
45 = c/-1 --> c = -45... Herefter er vores eneste ukendte b, og vi kan bare sætte det hele ind i en formel og vælge et af vores 3 koordinatsæt, her har jeg valgt (5,0).
0 = -x^2 + bx -45
0 = -25 + 5b -45
70 = 5b
b = 14, og det er således:
f(x) = -x^2+14x-45
Kristoffer
Skriv et svar til: 2. gradspolynomium - opgave
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.