Matematik

Blandet

10. april 2008 af Nyx84 (Slettet)

Jeg har problemer med følgende:
Den første er sgu lidt pinlig;-)
a)En linje l er givet ved ligningen 2x-y+1=0
Bestem en ligning for den linje, der står vinkelret på l og går gennem punktet P(4,3).
Den skal jeg bare have et hint til.

b) I et koordinatsystem i rummet har en kugle ligningen
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= 49
Punkterne N(1,2,8) og P(3,5,7) ligger på kuglen og en linje l går gennem kuglens centrum C og punktet P.
Bestem skæringspunkt mellem l og tangentplanen til kuglen i punktet P.
Jeg har fundet tangentplanens ligning til:
2x+3y+6z-63= 0, men så går jeg lidt i stå, når jeg skal finde skæringspunktet.

c) En træklods skal være lige så høj som den er bred, men 4 gange så lang, som den er bred.
a)Indfør passende betegnelser, og opskriv en formel for klodsens overfladeareal.
b)Man ønsker, at klodsen skal have et rumfang på 32 cm3. Bestem klodsens mål, således at dette er opfyldt.

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. april 2008 af dnadan (Slettet)

a)
hint: Benyt at de to rette linjers hældning(a og c) giver -1, hvis de multipliceres, altså a*c=-1

b)
(antager, at du har fundet tangentplanen korrekt)... Du skal først finde parameterfremstillingen for den rette linje gennem C og P, dvs. vektor_CP er retningsvektor, sæt herefter et af dine punkter ind, hvormed skærringen mellem linjen og planen kan findes

c)
-a Højde=h, Bredde=b, og Længde=l
dvs. h=b og l=4b
overvej nu, hvorledes overfladearealet findes.
-b hint: optimering

Brugbart svar (2)

Svar #2
10. april 2008 af mathon

en linje
l går gennem kuglens centrum C(1,2,1) og punktet P(3,5,7)

vektor_CP er retningsvektor for l
vektor_CP = vektor_OP - vektor_OC = [3,5,7]-[1,2,1] = [2,3,6]

l: vektor_OQ = vektor_OC + t*vektor_CQ eller

[x,y,z] = [1,2,1]+t*[2,3,6]

x = 1+2t
y = 2+3t
z = 1+6t
som indsat i den rigtige planligning 2x+3y+6z-63 = 0
giver
2(1+2t)+3(2+3t)+6(1+6t)-63 = 0 eller
49t-49=0
t=1,

hvoraf skæringspunktet
x = 1+2*1
y = 2+3*1
z = 1+6*1

S(3,5,7)

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. april 2008 af mathon

Q(x,y,z) er det variable punkt på l

Brugbart svar (4)

Svar #4
10. april 2008 af mathon

klodsens mål sættes
til
bredde x
højde x
længde 4x

overflader:
endeflader 2*(x*x) = 2x^2
sideflader 4*(x*4x) = 16x^2

Ov(x) = 2x^2+16x^2 = 18x^2

V = højde*længde*bredde = x*4x*x = 4x^3 = 32
4x^3 = 32
x^3 = 8 = 2^3
x=2

bredde 2 cm
højde 2 cm
længde 4*(2 cm) = 8 cm

Svar #5
10. april 2008 af Nyx84 (Slettet)

Tak:-)

Svar #6
10. april 2008 af Nyx84 (Slettet)

Til #2..hvad nu, hvis man indsætter det andet punkt i linjens parameterfremstilling?..kan man det?..for det har jeg nemlig gjort..men får så to punkter..
Altså så (x,y,z)=(3,5,7)+ t*(2,3,6)

Så får jeg x=2+3t, y=5+3t og z= 7+6t

Når de så sættes ind i criklens ligning får jeg t=0 og t=-2, som giver punkterne (3,5,7) og (-1,-1,-5)

Brugbart svar (1)

Svar #7
11. april 2008 af mathon

(x,y,z)=(3,5,7)+ t*(2,3,6) er en anden men fuldt så god parameterfremstilling for l

x = 3+2t
y = 5+3t
z = 7+6t

men ovenstående t-parameterudtryk skal indsættes i ligningen for planen 2x+3y+6z-63=0, da det er skæringen med planen - og ikke med kuglen - du skal beregne. (Selvfølgelig skærer en ret linje gennem kuglens centrum kuglen to steder, som du rigtigt beregnende)

x = 3+2t
y = 5+3t
z = 7+6t
som indsat i den planligningen 2x+3y+6z-63 = 0
giver
2(3+2t)+3(5+3t)+6(7+6t)-63 = 0 eller
49t=0
t=0, (du har en anden parameterfremstilling og får derfor også en anden t-værdi...

hvoraf skæringspunktet
x = 3+2*0
y = 5+3*0
z = 7+6*0

S(3,5,7) - ...men samme skæringspunkt

Brugbart svar (1)

Svar #8
11. april 2008 af mathon

som indsat i den planligningen --> som indsat i planligningen

Svar #9
11. april 2008 af Nyx84 (Slettet)

Nårh!!..så er det det, jeg gør galt..kan godt se det..tak:-)

Brugbart svar (1)

Svar #10
11. marts 2009 af Call (Slettet)

Planligningen lyder da ikke 2x+3y+6z-63 = 0 ??

Tangentplanen til kuglen i punktet N findes da ved at benytte normalvektoren vektor_CN (hvor C er kuglens centrum) som er givet ved

CN = 1-1, 2-2, 8-1 = 0,0,7

Herefter sættes ovenstående og punktet N ind i planens ligning, hvorved der fås:

0(x-1) + 0(y-2) + 7(z-8) = 0 --> 7z-56 = 0 --> z-8 = 0

Brugbart svar (0)

Svar #11
29. marts 2011 af nicetype (Slettet)

Jeg har fået planens ligning til 2x + 3y + 6z -56 =0 ??? hvorfor 56, og ikke 63.. kan ikke se hvad jeg har gjort galt. Har brugt CP som normalvektor, altså som a, b, c i planens ligning, og N som x0, y0, z0 ... Nogen der kan forklare det?

Brugbart svar (0)

Svar #12
08. februar 2012 af FactFiction (Slettet)

jeg ved godt, det er lidt sent svar, men jeg undrede mig lidt over:

til opgave b)

Hvordan findes tangentplanens ligning?

skal man bruge NC som normalvektor for N? eller?

og hvad skal man udregne først: vektoren CP eller ligningen for tangenplanen?

Skriv et svar til: Blandet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.