Matematik

Differentialligning gennem et punkt

07. maj 2008 af Liv1988 (Slettet)

Hej Alle,
Jeg kan ikke rigtig finde ud af nedstående opgave og håber derfor på, at der er nogle af jer der kan give mig en hjælpende hånd.

En funktion f er løsning til differentialligningen

dy/dx= y/(lny) * (x+2) , y > 1

og grafen for f går gennem punktet P(2,e).

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

Jeg har tænkt mig at bruge deSolve-funktionen inde på min lommeregner (TI-89 Titanium), men jeg ved ikke helt præcis, hvad det er jeg skal skrive ind.

b) Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Jeg er rimelig meget lost i denne her opgave - håber derfor på i kan komme med nogle hints.

På forhånd mange tak,
Liv1988

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. maj 2008 af Daniel TA (Slettet)

Jeg kan hjælpe dig med brug af lommeregneren:
Du skriver: deSolve(y'= y/(lny)*(x+2) and y(2)=e,x,y)
Så får du løsningen på din diff. ligning

Svar #2
07. maj 2008 af Liv1988 (Slettet)

Jeg forstår ikke rigtig, hvordan man skriver and - og hvorfor gør man det i det hele taget?
Også vil jeg også lige være sikker på om det er opgave a man får besvaret?

På forhånd mange tak,
Liv

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. maj 2008 af sigmund (Slettet)

Brug hellere lommeregneren til spm. b).

Spm. a) kan du hurtig løse: du har tangentligningen y = f(x0) + f'(x0)(x-x0). I spørgsmålet her er x0=2, f(x0)=e, mens f'(x0) bestemmes fra differentialligningen; det er måske lettere for dig at se det, hvis differentialligningen skrives som f'(x) = f(x)/ln[f(x)] * (x+2). Hvad er så f'(x0)?

Svar #4
07. maj 2008 af Liv1988 (Slettet)

#3: Jeg forstå ærligtalt nada af det du skriver. Kan man ikke løse den på en anden måde?

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. maj 2008 af sigmund (Slettet)

Du må for fanden forstå noget af det, jeg skrev. Nej, spm. a) kan ikke løses på en lettere måde. I spm. b) kan du med fordel bruge lommeregneren. Jeg prøver en gang til:

Vi har differentialligningen dy/dx= y/(lny) * (x+2) , y > 1, der også kan skrives f'(x) = f(x)/ln(f(x)) * (x+2), f(x)>1. Differentialligningen angiver sammenhængen mellem funktionen, f(x), og dens afledte. Nu skal vi så bestemme en ligning for tangenten til grafen for f(x) i punktet P(2,e).

En tangent er en ret linje, hvis hældning er givet ved f'(x). Som du ved, så er har en ret linje ligningen y = a*x+b, hvor a er linjens hældning og b dens skæringspunkt med y-aksen.

Som sagt, så har tangenten til grafen for f(x) hældningen f'(x). Nu er det punktet P(2,e), der er på tale; derfor skal vi have fat i hældningen der. Denne hældning er så givet ved f'(2). Fra differentialligningen har vi imidlertid, at f'(2) = f(2)/ln(f(2)) * (2+2), som, idet f(2)=e, er e/ln(e) * 4 = 4/1 * e = 4e. Således har tangenten i P(2,e) hældningen 4*e, og ligningen er foreløbig y = 4e*x+b.

Konstanten b kan nu bestemmes ved at sætte et punkt på tangenten ind i ligningen; dette giver en ligning, hvor b er den ubekendte. Det er klart, at punktet (2,e) ligger på tangenten. Sætter vi dette ind i den foreløbige ligning for tangenten, får vi e = 4e*2+b <=> b = e-8e = -7e. Dette giver følgende ligning for tangenten til grafen for f(x) i P(2,e): y = 4e*x-7e.

Jeg håber du forstår det bedre nu.

Svar #6
07. maj 2008 af Liv1988 (Slettet)

#5) Okay nu tror jeg, at jeg har fat på, hvordan b'eren skal løses. Er det "bare" sådan man skal gøre, hver gang man bliver bedt om at finde en ligning for tangenten til grafen for f i et punkt?

Tusind tak for forklaringen,
Liv

PS: "Du må for fanden forstå noget af det, jeg skrev". Ja, vi er jo ikke alle sammen lige hurtige eller lige kloge.. og vi går hellere ikke alle på DTU :P

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. maj 2008 af sigmund (Slettet)

Ja, det er sådan, du skal gøre, hvis du får givet en differentialligning, og bliver bedt om tangenten i et punkt.

Svar #8
07. maj 2008 af Liv1988 (Slettet)

#7) Jeg forstår stadig ikke rigtig, hvordan b'eren skal løses, altså den der hedder:

Bestem en forskrift og definitionsmængde for f. Er det mening jeg bare skal sætte x0=2 og f(x0) ind i tangentligningen?

Svar #9
07. maj 2008 af Liv1988 (Slettet)

Hovsa.. jeg tror jeg fandt ud af, hvordan a'eren skal løses - altså den med forskriften:

y = e + (f(x)/ln(f(x)))*(x+2)*(x-2)

Er det rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #10
07. maj 2008 af sigmund (Slettet)

#9,
Ja, hvis du bare sætter 2 ind for x i f(x)/ln(f(x)).

#8,
Din lommeregner giver dig en løsning til diffentialligningen. Er det ikke noget med e opløftet i kvadratroden af noget? Det, der står under kvadratroden må være negativt, så de x-værdier, der gør dette negativt, skal ikke med i definitionsmængden. Desuden kræver man i opgaven, at y>1. Det betyder, at definitionsmængden skal også begrænses til de x-værdier, der gør f(x)>1.

Hjalp dette noget?

Svar #11
07. maj 2008 af Liv1988 (Slettet)

#10) Jeps det hjalp meget. Jeg vil bare lige høre om man bare skal skrive det op som tekst eller om man skal skrive det om på anden vis - altså skal det skrives op "matematisk"? Og nu talte jeg om definitionsmængden.

Svar #12
07. maj 2008 af Liv1988 (Slettet)

#10) Du skriver "Din lommeregner giver dig en løsning til diffentialligningen.".

Hvordan kan jeg få lommeregneren til at udregne løsningen til differentialligningen? Det kan man da ikke, kan man?

Brugbart svar (0)

Svar #13
08. maj 2008 af sigmund (Slettet)

I #0 siger du "Jeg har tænkt mig at bruge deSolve-funktionen inde på min lommeregner (TI-89 Titanium), men jeg ved ikke helt præcis, hvad det er jeg skal skrive ind.", og en svarer (#1): "Jeg kan hjælpe dig med brug af lommeregneren:
Du skriver: deSolve(y'= y/(lny)*(x+2) and y(2)=e,x,y)
Så får du løsningen på din diff. ligning".

Det er det jeg mener med, at lommeregneren giver dig en løsning til differentialligningen.

Definitionsmængden kan du i første omgang skrive op som tekst. Derefter kan du måske få hjælp til at skrive det "mere matematisk" op.

Svar #14
08. maj 2008 af Liv1988 (Slettet)

#13) Heheh nåh ja :) Okay min lommeregner spytter følgende ud:

((ln(y))^(2) / (2)) - ((ln(e))^(2) / (2)) = ((x^2) -(2)) + 2 * x - 6

Hilsen,
Liv

Skriv et svar til: Differentialligning gennem et punkt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.