Matematik
Optimering af cylinder i kegle
15. maj 2008 af
Lauws (Slettet)
Hej alle
Jeg har fået den lede optimeringsopgave af min matematiklærer.
En kegle har en højde H = 10 cm og radius R på 4 cm. Inde under keglen placeres en cylinderformet beholder med højden h og radius r.(Lav en skitse af situationen)
Bestem for r = 2 cm beholderens største rumfang.
Bestem det størst mulige rumfang for beholderen og den tilsvarende r.
Okay skitsen er klaret. :p
Jeg har også en idé om, hvordan jeg skal løse opgaven, men hvordan finder jeg h? Jeg ved jeg skal isolere og sætte i stedet, men kan simpelthen ikke se hvordan uden at jeg får en anden variabel nemlig siden af keglen.
Jeg har fået den lede optimeringsopgave af min matematiklærer.
En kegle har en højde H = 10 cm og radius R på 4 cm. Inde under keglen placeres en cylinderformet beholder med højden h og radius r.(Lav en skitse af situationen)
Bestem for r = 2 cm beholderens største rumfang.
Bestem det størst mulige rumfang for beholderen og den tilsvarende r.
Okay skitsen er klaret. :p
Jeg har også en idé om, hvordan jeg skal løse opgaven, men hvordan finder jeg h? Jeg ved jeg skal isolere og sætte i stedet, men kan simpelthen ikke se hvordan uden at jeg får en anden variabel nemlig siden af keglen.
Svar #1
15. maj 2008 af peter lind
Største rumfang får du når cylinderen netop rører keglen. Se på den trekant der dannes af keglens side, højden af cylinderen og grundfladen. Du vil have en retvinklet trekant med den rette vinkel ved bunden af cylinder. Den ene katete er 4cm-2cm=2cm (bunden). Desuden kan du af oplysningen om keglen finde vinklen mellem keglesiden og bund. Se på din tegning.
Svar #2
16. maj 2008 af mathon
...som anvist i #1
for vinklen mellem siden og grundfladen, g
tan(g) = (H/R) = (10/4) = 2,5
cylinderhøjde med radius 2
tan(g) = (h/2)
hvoraf
h = 2*tan(g) = 2*2,5 = 5
maksimalt cylinderrumfang med radius 2
V_max = h*pi*r^2 = (5 cm)*pi*(2 cm)^2 = (20*pi) cm^3
alment:
h = 2,5(4-r) og r>0
og
V = pi*r^2*h = pi*r^2*2,5(4-r) = 2,5*pi*(4r^2-r^3)
V(r) = 2,5*pi*(4r^2-r^3)
V'(r) = 2,5*pi(8r-3r^2)
V'(r) = 2,5*pi*r(8-3r) og r>0
hvoraf
ekstremumbetingelsen
V'(ro) = 0
for
ro = (8/3)
fortegnsvariation for V'(r):
for 00, hvorfor V(r) er monotont voksende
for r>(8/3)er V'(r)<0, hvorfor V(r) er monotont aftagende
V(r) har derfor maksimum for r=(8/3)
V_max = V(8/3) = 2,5*pi*(4*(8/3)^2-(8/3)^3) = 74,4674
for vinklen mellem siden og grundfladen, g
tan(g) = (H/R) = (10/4) = 2,5
cylinderhøjde med radius 2
tan(g) = (h/2)
hvoraf
h = 2*tan(g) = 2*2,5 = 5
maksimalt cylinderrumfang med radius 2
V_max = h*pi*r^2 = (5 cm)*pi*(2 cm)^2 = (20*pi) cm^3
alment:
h = 2,5(4-r) og r>0
og
V = pi*r^2*h = pi*r^2*2,5(4-r) = 2,5*pi*(4r^2-r^3)
V(r) = 2,5*pi*(4r^2-r^3)
V'(r) = 2,5*pi(8r-3r^2)
V'(r) = 2,5*pi*r(8-3r) og r>0
hvoraf
ekstremumbetingelsen
V'(ro) = 0
for
ro = (8/3)
fortegnsvariation for V'(r):
for 00, hvorfor V(r) er monotont voksende
for r>(8/3)er V'(r)<0, hvorfor V(r) er monotont aftagende
V(r) har derfor maksimum for r=(8/3)
V_max = V(8/3) = 2,5*pi*(4*(8/3)^2-(8/3)^3) = 74,4674
Skriv et svar til: Optimering af cylinder i kegle
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.