Matematik
Strukturen i et bevis (II)
Jeg sidder og repeterer beviser for løsningen af differentialligninger: y' = ky har løsningen f(x) = c*e^(kx).
Beviset består af to dele (citat):
"a) Hvis f er en løsning, så er f af formen f(x) = c*e^(kx).
b) Hvis f er af formen f(x) = c*e^(kx), så er f en løsning."
Så vidt jeg forstår viser den første del at
f = løsning => f er på formen f(x) = c*e^(kx)
Mens den anden del er
f er på formen c*e^(kx) => f = løsning
så man kan sætte biimplikation mellem udsagnene:
f = løsning <=> f er på formen f(x) = c*e^(kx).
Men hvordan har man fundet ud af at f(x) = c*e^(kx) er en løsning i starten? I beviset antager man jo at man allerede har løsningen, så det består jo bare af at vise at det rent faktisk er (den eneste) løsning.
Findes der andre beviser, der ikke antager at løsningen af differentialligningen er kendt?
Svar #1
06. juni 2008 af dnadan (Slettet)
Se evt. (Link fjernet pga. dødt link. Mvh. Studieportalen.dk)
Svar #2
06. juni 2008 af blackduck (Slettet)
Du kan bruge separation af variable, men med mindre din lærer har gennemgået mere differentialligningsteori end påkrævet har i næppe set et bevis for, at separation af de variable rent faktisk fører til en entydigt bestemt løsning, hvorfor det i sidste ende bliver lidt uformelt.
Jeg mener dog ikke at det er det store problem. Som i mange andre matematiske sætninger er der svære måske ikke selve beviset, men det at komme til at tænke på sammenhængen i første omgang. I det konkrete tilfælde syntes jeg dog ikke at det er så svært at se.
y'=k*y. Vi skal altså gætte på en funktion, der når den differentieres får ganget en konstant på. Det er her meget oplagt at gætte på noget med e(x), da vi netop ved at e'(x)=e(x).
Et formelt bevis skjuler tit hvordan man dog er kommet til at tænke på det. For lige at være helt sikker, du er med på, at beviset er 100% formelt? Det er altså ikke en mangel/svaghed i beviset, at det ikke fremgår tydeligt hvordan man er kommet til at tænke på (man har gjort noget i stil med det jeg skriver ovenover) hvad løsningen er? Du har i øvrigt ret med biimplikationen. Det er jo ret væsentligt at vide, om man har fundet en mulig løsning eller rent faktisk har fundet samtlige løsninger.
Svar #3
06. juni 2008 af mathon
i det andet - "hvis f er af formen f(x) = c*e^(kx)" - differentierer du
Svar #5
06. juni 2008 af Christinana (Slettet)
Jeg tog lige et kig på dnadan og mathons beviser. Vores bog gennemgår beviset som i dnadan gør på 1. side, men umiddelbart synes jeg mathons/dnadans bevis 2 er lettere at forstå. Min lærer har nævnt seperation af de variable kort (ikke navnet, bare metoden), men man bruger den også i kemi til udledning af reaktionshastigheder.
MEN... jeg mener der var en nitte. Skal man ikke bevise at dy/dx kan skilles ad og ikke er et samlet symbol som der gøres i beviset (#2, er det iøvrigt det du mener?)? Der ganges med dx på begge sider.
Er det bevis overkommeligt på gym-niveau?
#2 Jeg kan godt se din pointer, både det med exp og "formelle beviser" og ja, jeg kan godt se at beviset er helt formelt, men som du selv siger sker det på bekostning af forståelsen eller det 'intuitive' element i beviset. Egentlig gør jeg det også værre end det er, man får ofte aha-oplevelse efter man har gennemgået beviset helt igennem. Så det går først op for hvorfor det kan være smart at indføre en funktion h(x) = ... i beviset for løsningen af diffligningen /efter/ beviset er færdigt, hvilket vist også er meningen :)
Men ja... jeg tror bare det er sådan matematik er bygget op.
Svar #6
06. juni 2008 af dnadan (Slettet)
Det kræver dog lige, at du sætter dig ind i regnemetoden(dvs. beviser denne inden du går hen til det bevis, du her snakker om)
Svar #7
06. juni 2008 af Christinana (Slettet)
Jeg synes egentlig beviset med sep. af de var. er lettere fordi man ikke skal lave noget hokuspokus med at indføre en ny (ikke så tilfældig, viser det sig) funktion.
Svar #8
06. juni 2008 af Christinana (Slettet)
#6 Til den sidste del: Er det dette bevis: (Link fjernet pga. dødt link. Mvh. Studieportalen.dk) (sætning 1) For det er jeg nemlig ikke sikker på at jeg forstår...
Svar #9
07. juni 2008 af Christinana (Slettet)
Jeg har lidt svært ved at forstå det bevis. dnadans bevis virker kortest... det er nederst på s. 3 i noten. Jeg forstår ikke dette trin:
int 1/g(f(x))*f'(x) dx = 1/g(y) dy
Hvordan regner men det ud? Det står at man skal bruge integration ved substituion.
Og: hvorfor bruger man både f(x) og y?
Derudover: på s. 2ø har du skrevet exp(kx+k2) = exp(kx)+exp(k2), det skal vel være exp(kx)*exp(k2)? Ellers giver det efterfølgende heller ikke mening.
Svar #10
07. juni 2008 af Christinana (Slettet)
G(y) = int 1/g(y) dy
Skriv et svar til: Strukturen i et bevis (II)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.