Bestemte Integral Igen :(

...har du fx. tænkt på en drejning på 360° om x-aksen af grafen for f(x)?

...herved beregnes et rumfang

Altså rumfanget af en cirkel? Nej det havde jeg ikke lige tænkt på..

Altså rumfanget af et legeme

Legeme? Are you kidding me?

Det har jeg aldrig lært tror jeg. Kan du forklare hvordan det gøres?

ved at indlægge linjestykket
y = f(x) = (r/h)x, x€[0;h] i et koordinatsystem
fås
ved en drejning på 360° om x-aksen af grafen for f(x)
en kegle
med rumfanget V_x=
h
S pi*((r/h)x)^2*dx =
0

pi*(r^2/h^2)*(1/3)*h^3 = (1/3)pi*h*r^2 = (1/3)*h*(pi*r^2) = (1/3)*h*G,
hvor
G er den cirkulære grundflade

Slettet

Er det mat på A niveau?


[Jeppe, er det ikke på tide, at du laver dine egne lektier.]

Jeg ved ikke om man kan kalde det for lektier Jacob, jeg ville nærmere kalde det forberedelse til eksamen.
Først og fremmest er det ikke alle der har flair for matematik på det her niveau. At jeg så har problemer med hvert emne jeg forbereder mig til er måske ikke så underligt, det er jo ikke decideret alt jeg spørger om, men en enkelt ting, da jeg kan finde det andet i min bog eller noter, derefter er min 2nd option så google, eller her.
Ved godt jeg bruger forummet flittigt, men altså det kan andre også have gavn af på et senere tidspunkt.

Omdrejningslegemer en del af kernestoffet for matematik A. Generelt er det ikke tilrådeligt at bevæge sig ind på emner, som du ikke har nogenlunde styr på - dvs. emner I ikke har gennemgået i klassen. Men here goes...

Lad f være en ikke-negativ kontinuert funktion i intervallet [a;b], som afgrænser en punktmængde M = {(x,y) | a =< x =< b og 0 =< y =< f(x)}. Hvis M drejes 360° om x-aksen, fås et omdrejningslegeme med volumenet:

V_x = pi * S[a,b]{f(x)^2}dx

Omdrejningslegemet kan deles op i mange små cylindere, alle med bredden delta_x . Volumenet af omdrejningslegemet vil således være summen af alle disse små cylinderstykker.

Radius i en vilkårlig cylinder n tilsvarer f(x_n), og højden tilsvarer delta_x. En tilnærmet værdi af volumenet af cylinderen må – jf. formlen for en cylinder – derfor være givet ved:

V ~ pi * f(x_n)^2 * delta_x

Lader vi alle de volumener i intervallet [a;b], være uendeligt tynde, dvs. delta_x -> 0, må volumenet omdrejningslegemet være givet ved:

V_x = lim[delta_x]{{n}/sigma/{i=1} pi * f(x)^2 * delta_x = S[a,b] pi * f(x)^2 dx

Da pi er en konstant – og da det gælder at S{k*x}dx = k*S{k}dx – kan pi sættes uden for integraltegnet, så:

V_x = pi * S[a,b]{f(x)^2}dx

Som mathon nævner, kan omdrejningslegemer blandt andet bruges til at bevise rumfangsformlerne for visse kendte geometriske figurer, så som keglen, kuglen og lign.