Bevis: kvadratroden af 2 er et irrationalt tal.

Tjo...

Du skal bruge følgende undervejs. Hvis a^2 er lige, så er a lige.

Sæt a=2n+1 og udregn a^2=4n^2+4n+1=2m+1, hvis man sætter m=2n^2+2n. Derfor bliver a^2 ulige. Så a^2 kan kun blive lige, hvis a er lige. (og det gør den, men det er en anden snak)


Nu antager vi, at vi har fundet hele tal, p og q, så p/q er kvadratroden af 2. Dvs.(p/q)^2=2 eller omskrevet p^2/q^2=2 og endda (ved at gange med q^2 på begge sider p^2=2*q^2.

Dette fortæller os derfor ifølge indledningen, at p må være et lige tal. Altså, at p kan skrive som p=2r for et helt tal r. Men så er p^2=4r^2, hvilket sammenholdt med p^2=2q^2 giver, at 4r^2=2q^2.

Hvis denne ligning deles med 2 på begge sider, står der q^2=2r^2. Men så er q også lige, dvs. q^2=4s^2 for et helt tal s.

Sådan kan man blive ved, for nu er 4s^2=2r^2... Og dermed r^2=2s^2. Ligegyldig, hvor ofte vi dividerer begge sider i ligningen p^2=2q^2 med to, kan begge sider altså divideres endnu flere gange med 2. Kort sagt:

p og q er hele tal, der kan divideres med 2 i en uendelighed - det er jo helt absurd og kan derfor ikke lade sig gøre...

Tak for hjælpen.

Det var så lidt. Jeg er glad for at hjælpe med interessante spørgsmål som dette. Jeg håber svaret giver mening - det er jo ikke verdens letteste bevis rent forståelsesmæssigt, da man jo netop skal frem til en absurditet

Hej:)

Jeg er selv i gang med at bevise, at kvadratroden af 2 er irrationalt.

Måske nogen ville uddybe følgende:

Hvis a^2 er lige, så er a lige.

Sæt a=2n+1 og udregn a^2=4n^2+4n+1=2m+1, hvis man sætter m=2n^2+2n. Derfor bliver a^2 ulige. Så a^2 kan kun blive lige, hvis a er lige.

På forhånd tak!