Matematik
Cosinusrelation (hurtigt svar søges)
19. juni 2008 af
sengul (Slettet)
Hej :-)
Cosrelation med højden faldende inden og uden for trekanten, når vi ved begge trekanter en beregning af pythagoras som vi anvendter til at nå frem til cosrelationen.
Men når jeg ved hjælp af pythagoras regner begge trekanter (ved at minuserer begge pythagoras sætninger sammen) får jeg: b^2 -2bx = c^2-a^2
men fra det ligning, kan vi ikke direkte gå og sige: c^2= a^2+b^2-2*a*b*cosC
b^2= a^2+c^2-2*a*c*cosB
a^2= b^2+c^2-2*b*c*cosA
Håber på et forståeligt, hurtigt svar :)
Cosrelation med højden faldende inden og uden for trekanten, når vi ved begge trekanter en beregning af pythagoras som vi anvendter til at nå frem til cosrelationen.
Men når jeg ved hjælp af pythagoras regner begge trekanter (ved at minuserer begge pythagoras sætninger sammen) får jeg: b^2 -2bx = c^2-a^2
men fra det ligning, kan vi ikke direkte gå og sige: c^2= a^2+b^2-2*a*b*cosC
b^2= a^2+c^2-2*a*c*cosB
a^2= b^2+c^2-2*b*c*cosA
Håber på et forståeligt, hurtigt svar :)
Svar #1
19. juni 2008 af mathon
cos-relationen:
trekant ABC lægges ind i koordinatsystemet
med
1) A i (0,0)
2) B(b1,b2) liggende på x-aksen med b1>0
3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1<b1
4) fodpunktet for højden fra C på c kaldes D
dermed er vinkel B spids
ved figurbetragtning ses:
c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|DB| = c-b*cos(A)
ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |DB|^2
*) a^2 = (b*sin(A))^2 + (c-b*cos(A))^2
a^2=b^2*(sin(A))^2 + c^2 + b^2*(cos(A))^2 - 2bc*cos(A)
a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)
beviset når vinkel B er stump - så højden "falder" uden for trekanten:
ÆNDRINGEN i koordinatsystemet bliver:
3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1>b1
og
c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|BD| = b*cos(A)-c
ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |BD|^2
**) a^2 = (b*sin(A))^2 + (b*cos(A)-c)^2
a^2=b^2*(sin(A))^2 + b^2*(cos(A))^2 + c^2 - 2bc*cos(A)
a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)
eneste forskel på *) og **) er
i
*) c-b*cos(A)
og
**) b*cos(A)-c
men
da
(c-b*cos(A))^2 = (b*cos(A)-c)^2...(udtrykket er symmetrisk)
bliver slut-formlen, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A), den samme.
Bogstaverne kan rokeres, hvorved de to analoge
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)
og
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)
fremkommer
trekant ABC lægges ind i koordinatsystemet
med
1) A i (0,0)
2) B(b1,b2) liggende på x-aksen med b1>0
3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1<b1
4) fodpunktet for højden fra C på c kaldes D
dermed er vinkel B spids
ved figurbetragtning ses:
c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|DB| = c-b*cos(A)
ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |DB|^2
*) a^2 = (b*sin(A))^2 + (c-b*cos(A))^2
a^2=b^2*(sin(A))^2 + c^2 + b^2*(cos(A))^2 - 2bc*cos(A)
a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)
beviset når vinkel B er stump - så højden "falder" uden for trekanten:
ÆNDRINGEN i koordinatsystemet bliver:
3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1>b1
og
c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|BD| = b*cos(A)-c
ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |BD|^2
**) a^2 = (b*sin(A))^2 + (b*cos(A)-c)^2
a^2=b^2*(sin(A))^2 + b^2*(cos(A))^2 + c^2 - 2bc*cos(A)
a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)
eneste forskel på *) og **) er
i
*) c-b*cos(A)
og
**) b*cos(A)-c
men
da
(c-b*cos(A))^2 = (b*cos(A)-c)^2...(udtrykket er symmetrisk)
bliver slut-formlen, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A), den samme.
Bogstaverne kan rokeres, hvorved de to analoge
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)
og
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)
fremkommer
Skriv et svar til: Cosinusrelation (hurtigt svar søges)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.