Matematik

Den topologiske dimension

04. august 2008 af roz (Slettet)

Hejsa,
tænkte om der er nogen der kunne forklare mig hvad definationen på den topologiske dimension er? Og gerne komme med et eksempel på hvordan den beregnes for et eller anden objekt.

Der findes alt for meget om det på nettet til at jeg lige kan danne mig et overblik. Så ville være super hvis der var en eller flere herinde fra der enten kunne forklare mig det eller komme med nogle links eller hvad det nu skulle være :)

Skal siges jeg ikke har studeret topologi før og min viden på det felt er rimelig begrænset.

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. august 2008 af **Anne.** (Slettet)

Du kan prøve at spørge Euler. Han ved meget om den slags avanceret matematik.

Brugbart svar (2)

Svar #2
05. august 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Hvis du ikke er bange for engelsk, ser dette her ud til at være en ret tilgængelig side:

http://www.math.okstate.edu/mathdept/dynamics/lecnotes/node36.html

Brugbart svar (3)

Svar #3
05. august 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Lad mig give en dansk forsmag på, hvad der står i linket, så kan du evt. spørge...

Hvis man har en grundmængde, X, og en mængde af delmængder af X, som vi vil kalde O, og O opfylder følgende tre punkter:

1. X og den tomme mængde Ø ligger begge i O
2. Enhver forening af mængder fra O giver også en mængde i O
3. Ethvert snit af et endeligt antal mængder fra O giver igen en mængde fra O

så kalder man O for en topologi på X, og mængderne i O kalder man så de åbne mængder i X.

Derpå defineres begreberne "overdækning" og "refinement" (sidstnævnte kan jeg ikke lige det danske ord for).

Overdækning af en delmængde S i X: En samling af elementer fra O, hvis forening indeholder S

Hvis C og C' er overdækninger af S, så siges C' at være et "refinement" af C, hvis hvert element i C' er indeholdt i et af elementerne i C. Det er det figur 37 er et eksempel på - hver af de blå cirkler er helt indeholdt i en rød cirkel, så de blå cirkler er et "refinement" af de røde cirkler. Begge dele overdækker kurven...

Brugbart svar (3)

Svar #4
05. august 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Den topologiske dimension af et topologisk rum X, defineres nu ved at man ser på overdækninger af X og løst sagt tæller, hvor få "overlappende mængder" man kan komme ned på, at disse overdækninger har, hvis man "refiner" dem. Enhver overdækning kan "refines" til hvert punkt i X højst er indholdt i m+1 overlappende mængder, hvor nu m er den topologiske dimension af X.

Hvad konsekvenserne af denne definition er, må jeg ærligt indrømme, at jeg ikke har arbejdet med, men i eksemplet givet i figur 38, kan du se, hvordan cirklerne nogle steder nødvendigvis må overlappe, således at tre cirkler overlapper hinanden. Derfor er dimensionen af det plan, der er overdækket på figuren, lig med to.

Brugbart svar (3)

Svar #5
05. august 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Jeg kan da lige indskyde en mindre tanke her klokken 2 om natten en højhellig mandag - selvom man tager sin plan og laver om til bølgepap, hvorpå man forsøger at overdække den med kugler, da den nu tilsyneladende bevæger sig ind i tredje dimension, så vil den topologiske dimension af planen være uændret. Man kan stadig opnå, at højst tre kugler overlapper ad gangen...

Brugbart svar (3)

Svar #6
05. august 2008 af **Anne.** (Slettet)

#0 Eller spørg Tal-manden. Han er klog :-)

Svar #7
05. august 2008 af roz (Slettet)

Wauw tusind tak for alle svarene indtil videre! Nu har jeg kun lige kigget det hurtigt igennem, men læser det lige grundigt igennem inden så længe og ser om det er til at forstå for mig.

Vender tilbage med eventuelle spørgsmål, men mange tak for hjælpen indtil videre i hvert fald!

Svar #8
05. august 2008 af roz (Slettet)

Okay nu har jeg læst det hele igennem et par gange. Og tror jeg til dels forstår det hehe. Jeg er i hvert fald med på grund begreberne og hvordan den topologiske dimension findes når først man har tegnet C og C' mængderne ind.

Men hvordan bestemmes størrelserne / mængderne / "det de dækker" af C og C'?

Brugbart svar (1)

Svar #9
06. august 2008 af tal-pædagog (Slettet)

#8 Jeg forstår ikke dit spørgsmål! Mener du, hvordan man kan vide, hvilke mængder C og C' består af?

Svar #10
06. august 2008 af roz (Slettet)

#9 Ja noget i den stil.

Det var vel ikke sådan at du har mulighed for at komme med et eksempel på beregning af en fraktals topologiske dimension? Ved godt der muligvis er lidt arbejde i det, men tror det ville hjælpe en del med et eksempel. Ville i hvert fald blive værdsat hehe :)

Sidder også lige og kigger nettet igennem efter noget i den stil, så skriver lige hvis jeg finder noget.

Brugbart svar (0)

Svar #11
06. august 2008 af abstraction (Slettet)

#10 Hvordan vil du beregne en fraktals dimension ud fra den blå luft?

Brugbart svar (0)

Svar #12
06. august 2008 af abstraction (Slettet)

ved du overhovedet, hvad du taler om ??

Brugbart svar (2)

Svar #13
06. august 2008 af tal-pædagog (Slettet)

#12 Citat fra en børnesang: "kan jeg gætte, hvem du er...". Har du noget at byde ind med?

Brugbart svar (1)

Svar #14
06. august 2008 af abstraction (Slettet)

#13 Kender jeg dig?

Brugbart svar (0)

Svar #15
06. august 2008 af abstraction (Slettet)

Kan du kommentere #11 i det mindste.

Brugbart svar (2)

Svar #16
06. august 2008 af tal-pædagog (Slettet)

#15 Man skal i første omgang vide, hvilken fraktal, der er tale om... Er det det, du mener, eller joker du bare?

Brugbart svar (0)

Svar #17
06. august 2008 af abstraction (Slettet)

#16 En fraktal er vel bare en mængde, som ikke kan tillægges en eksisterende Borel-mængde.

Jeg ved mere end du tror, så du skal ikke nedgøre mig "tal-pædagog".

Brugbart svar (1)

Svar #18
06. august 2008 af tal-pædagog (Slettet)

#17 Det vil jeg så lade være med at gøre - især, hvis du kan uddybe det yderligere. Hvad mener du med at tillægge det en borelmængde?

Brugbart svar (0)

Svar #19
06. august 2008 af abstraction (Slettet)

Jeg går da ud fra at en fraktal ikke kan tillægges et sandsynlighedsmål og derfor strider mod aksiomerne for det traditionelle sandsynlighedsrum. Det er ikke mit område. Jeg er mere til fysikken og musikken.

Brugbart svar (0)

Svar #20
07. august 2008 af abstraction (Slettet)

Se her "tal-pædagog" !

Skriv et svar til: Den topologiske dimension

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.