Matematik
Mere om følger og grænseværdier
http://peecee.dk/uploads/092008/Screenshot-1.png
Så er jeg løbet ind i en mur igen...
Jeg har meget svært ved at forstå de to opgaver i linket, så hvis nogen kunne supplere med en forklaring ville det hjælpe.
.
Hvad jeg har prøvet:
1) Følgen a_n = 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5... vil opfylde betingelserne så jeg prøvede at bruge det som eksempel. Mit problem er at jeg ikke at finde en af svarmulighederne som passer, fx ville 2 også passe på min følge. Så det skyldes nom jeg har valgt et dårlig eksempel, men hvad er den rette tankegang i sådanne opgaver?
2) Man skal vist ikke bruge l'hopitals regel i opgaven (ellers skal man diff. 10 gange), men hvis man gør, ender man vel med et udtryk hvor cos eller sin indgår i både tæller og nævner, og de har jo ingen grænseværdier.
Jeg er lidt blank her... man skal tydeligvis tænke over opgaven på en anden måde :)
Svar #1
16. september 2008 af fluen på væggen (Slettet)
Første opgave
(1) Da sin(x)→a for x→a fordi sin er en kontinuert funktion, sker dette specielt også når x=an→a for n→oo.
(2) Følgen i opgaven er jo konvergent og dermed ikke divergent.
(3) Hvis an→a>0 for n→oo nærmer følgen i opgaven sig følgen (-1)n·a=±a som derfor ikke giver én grænseværdi - så er følgen divergent. Hvis derimod a=0 går følgen mod nul!
(4) Denne følge er produktet af an og 1/n som begge er konvergente. Så er den konvergent mod produktet af grænseværdierne - dvs. nul.
(5) Sammensætning af kontinuerte funktioner med en konvergent følge - det svarer præcis til svar (1)
(6) Summen af to konvergente følger giver en konvergent følge med summen af grænseværdierne som grænseværdi. Følgen får samme grænseværdi som an.
Anden opgave
Pointen er at sin og cos er begrænsede, så når n8 og 25n9 går mod uendeligt bliver betydningen af de tal mellem -1 og 1 som cos og sin bidrager med ganske ligegyldige!!! Her kommer en hurtig vurdering. Husk at en brøk bliver større, når tælleren gøres større eller når nævneren gøres mindre...
(sin(n)+n8)/(cos(n)+25n9)
≤ (sin(n) bliver aldrig større end 1 og cos(n) bliver aldrig mindre end -1, så tæller større, nævner mindre)
(1+n8)/(25n9-1)
≤ (hvis 1 erstattes med 2n8 så er tælleren gjort større, og hvis -1 erstattes med -22n9, er nævneren gjort mindre - her kunne man også bruge l'Hopitals for at fjerne 1 og -1)
(3n8)/(3n9)=1/n→0
Så den positive følge er klemt ned af en større positiv følge, der konvergerer mod nul - altså konvergerer den oprindelige føgle også mod nul.
Jeg kan ikke se, hvorfor udsagn (6) ikke er korrekt. Grænseværdien af følgen i (6) er nemlig også nul. Havde der stået (25n)-1 havde (6) dog givet bedre mening, da den oprindelige følge kommer til at ligne denne vilkårligt godt når n går mod uendeligt, men det er en anden snak.
Svar #2
17. september 2008 af stol (Slettet)
Jeg ville ønske der var en "Ekstremt meget brugbart"-knap :) Igen, mange tak for hjælpen, det giver god mening nu. Jeg havde vist misforstået "divergent", jeg troede det betød "gå mod uendeligt (hvilket jo kun er den halve sandhed).
Nå, jeg vender nok tilbage med flere spørgsmål senere :)
Prøven er på mandag.
Skriv et svar til: Mere om følger og grænseværdier
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.