Matematik
Komplekst polynomium som produkt af andengradsligninger
Min opgave er som lyder:
"Skriv P (z) som et produkt af to andengradspolynomier med reelle koefficienter"
Jeg er kommet frem til at resultatet er:
(z² * sqrt(2) − z · sqrt(2) + 1)*(z² * sqrt(2) + z · sqrt(2) + 1) = z4 + 1
Men jeg er ikke helt sikker på hvilken fremgangsmåde der giver det bedste argument for mit resultat.
Svar #1
02. oktober 2008 af utdiscant (Slettet)
og med:
z4 + 1
mener jeg selvfølgelig
z4 + 1
og for lige at præcisere er P(z) = z4 + 1
Svar #2
02. oktober 2008 af fluen på væggen (Slettet)
Du kan løse ligningen P(z)=0, idet z4+1=0 ⇔ z4=-1 som har løsningerne
z=cos(v)+i·sin(v), hvor v=(2n+1)·pi/4 og n er et helt tal
for da dette z har norm 1, bliver det på enhedscirklen, og når det opløftes i 4. sendes det et ulige antal gange pi rundt på endhedscirklen, hvilket gør at det ender i vinklen pi svarende til -1. Dette giver dig fire tal z1, z2, z3, z4 (ved godt at det giver uendeligt mange vinkler v, men kun fire essentielt forskellige løsninger z). Nu kan du skrive:
P(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4)
og da rødderne kan samles i par, hvor to løsninger er hinandens komplekst konjugerede, vil to af parenteserne parvist give andengradspolynomier med reelle koefficienter, for hvis f.eks. z1 og z2 er hinandens komplekst konjugerede fås:
(z-z1)(z-z2)=z2-(z1+z2)z+z1z2
og hvis z1=a+bi, z2=a-bi ses at z1+z2=2a og z1z2=a2+b2 som derfor er reelle koefficienter.
Skriv et svar til: Komplekst polynomium som produkt af andengradsligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.