rumgeometri

Sikke noget rod.

Hvad er punktets koordinatsæt?

Hvorfor får du oplyst ligningen for en plan, når opgaven handler om en linje og et punkt?

hm ?

fordi der er flere spørgsmåle , men har ikke skrevet dem alle, men da jeg ike helt er klar over hvilke af oplysningerne jeg skal bruge har jeg skrevet det hele ind, for at være på den sikre side ..

og koordinatsættet er P(4,-1,6)

..

2x - y + z + 3 = 0    og en linje l har pm-fremstillingen:

(x,y,z) = (1,2,3) + t*(1, -1, 1)

Vi vil nu undersøge om P er et punkt på l:

Vi finder normalvektoren til P_α:                (jeg undlader at bruge vektorpilene)

n = (2, -1 , 1)

Vi kender Punktet P, hvorfor vi nu kan opskrive

m:  (x,y,z) = (4, -1, 6) * t( 2, -1, 1)

Vi kan nu finde t ved:

x = 4 + 2t                    y = -1 - t                    z = 6 + t

Vi gør brug af formlen 2x - y + z + 3 = 0  for at finde t:

2(4 + 2t) - (-1- t) + (6 + t) + 3 = 0

8 + 4t + 1 + t + 6 + t + 3 = 0

6t + 18 = 0

6t = -18

t = -3

Vi indsætter t = -3 i m, hvor vi får følgende resultat

(x,y,z) = (4, -1, 6) +  (-3) * ( 2, -1, 1)

(x,y,z) = (-2, 2 , 3)

Det gælder, at et punkt og dets stedvektor har samme koordinater er projektionen af P på a,
Pp(-2,2,3).
 

/ Ayhan

.. rettelse til #3

m er selvfølgelig m: (x,y,z) = (4, -1, 6) + t * ( 2, -1, 1)

En linje har parameterfremstillingen

x = 1+t

y = 2-t

z = 3+t

Du skal undersøge om P(4;-1;6) er et punkt på linjen?

Du skal løse ligningerne:

4 = 1+t

-1 = 2-t

6 = 3+t

Da alle ligninger har løsningen t=3 ligger P på linjen.

#6

selvfølgelig er t = 3!.. jeg har vidst sovet mens jeg har regnet!

Vi vil nu bestemme projektionen af P på α:
Af ovenstående fandt vi frem til følgende, som vi kan indsætte i α's ligning:

x = 1+t            y = 2-t            z = 3+t

2x - y + z + 3 = 0                                 vi indsætter ovenstående oplysninger, hvoraf vi får:
2 (1+t) - (2-t) + (3+t) + 3 = 0             vi ganger ind i parenteserne og reducere

2 + 2t - 2 + t + 3 +t + 3 = 0

4t + 6 = 0                                             heraf kan vi bergene t

t = -6/4 = -3/2                                     vi indsætter det i hhv. x, y og z

x = 1+(-3/2)                     y = 2- (-3/2)                  z = 3+(-3/2)

x = - 0,5                           y = 3,5                           z = 1,5

Vi altså skæringspunkterne (x,y,z) (-0,5 ; 3,5 ; 1,5)

Plan a's normalvektor kan skrives som

n = (2, -1 ,1)                                                hvoraf vi kan længden:

n = √2² + (-1)² + 1²                                   n = √6

Vi kan nu beregne projektionen n på , når P's projektionspunkt på planen kaldes Pp:

P_pP = (n * SP / n²) * n

P_pP = [((2, -1, 1) * (4,5 , -4,5 , 4,5))/ (√6)²) * (2, -1 , 1)]

P_pP = [(2 * 4,5  + (-1) * (- 4,5) + 1 * 1,45) / 6) * (2, -1, -1)]

P_pP = 18/6  * (2, -1 , 1) = 3 * (2, -1, 1)

P_pP = (6, 3, -3)

rettelse: P_pP = (6 , -3, 3)

OP = OP_p + P_pP                                        OP_p = OP - P_pP

heraf fås:

OP_p = (4, -1 , 6) - (6, -3 , 3)

OP_p = (-2, 2, 3)

Det gælder, når et punkt og dets stedvektor har samme koordinater er projektionen af P på a,
Pp(-2,2,3).

i overenstemmelse med #4

#5

 i #3 og #4 er t = -3

men i din beregning og #8, #9, #10 er t = 3!