Matematik hjælp - Polynomier

1) Husk på, at hvis r er rod i polynomiet f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ, så kan f omskrives til formen

f(x)=(x-r)g(x)

hvor g(x)=b₀+b₁x+b₂x²+...+b_n-1x^n-1 er et passende polynomium, hvis grad er 1 lavere end f's. Du kan nu opskrive, hvordan man udregner a'erne, når man kender b'erne - så kan det være, du kommer på en idé. Ellers spørg igen. Betingelsen (p,q)=1 handler blot om, at brøken skal være uforkortelig.

2) Omskriv de oplyste polynomier til polynomier med heltallige koefficienter - husk at det ikke ændrer ved polynomies nulpunkter, om man ganger eller dividerer med en konstant, da f(x)=0 ⇔ k·f(x)=0 for en konstant k≠0. Derfor kan nogle af polynomierne "forkortes", så koefficienterne bliver mindre, og dermed bliver betingelserne fra 1) skarpere og mere fyldestgørende. Andre skal ganges med noget for at blive heltallige. Brug så kriterierne fra 1) til at fortælle, hvad der gælder for de enkelte polynomier.

3) Hvis en rational rod er heltallig, så er q=1, og p kan vælges frit, da (p,1)=1 uanset valg af p.

Hvad betyder (p,q) = 1 helt præcist?
Har de begge værdi 1?
 

Med den notation, jeg kender, skriver man gcd(p,q)=1 eller sfd(p,q)=1, hvilket betyder "greatest common divisor" hhv. "største fælles divisor". Hvis du har to hele tal p og q, så er største fælles divisor det største positive hele tal, der går op i både p og q. F.eks. har tallene 12 og 15 begge tallet 3 som divisor, og 3 er tallenes største fælles divisor. Hvis sfd(p,q) er 1, så kan brøken p/q ikke forkortes, da tallet 1 er det største tal som både kan dividere p og q. Således kan 2, 3, 4 osv. ikke bruges til at forkorte brøken p/q i dette tilfælde.

Aha, så giver det mere mening, så de er simpelthen bare primiske. tak.

Er gået rimelig død i 3), så hvis nogen kunne foreklare den yderligere, ville jeg være taknemmelig :)
 

Glemte lige at spørge om en ekstra ting;

Når man "forkorter" et polynomium er det så bare Koefficienterne til højestegradsleddet og konstantledet der skal være heltalige? Eller gælder det alle koefficienter i polynomiet?

Mit hint til 3) var vist ikke særlig anvendeligt, men måske kan jeg udbedre det her. Du skal karakterisere de polynomier med heltallige koefficienter, hvor kriteriet i 1) ikke vil lykkes for q>1 således at alle rationale rødder nødvendigvis må have q=1 og dermed må være hele tal.

Derved ser du umiddelbart, at hvis højestegradsleddet i polynomiet har koefficienten 1, så vil de rationale rødder nødvendigvis blot være hele tal. Men alt er ikke sagt med det, for hvis f(x) er et polynomium med heltalskoefficienter, hvor koefficienten til højestegradsleddet er 1, så er k·f(x) igen et polynomium med heltalskoefficienter, hvor højestegradsleddet er k. Du skal altså tilføje et kriterium med at man "forkorter" polynomiet før man tjekker betingelsen, at højstegradsleddets koffeicient skal være 1.

Når man "forkorter" er målet at opnå de mindste, heltallige koefficienter til samtlige led, så ALLE koefficienter skal være heltallige! Når man "forkorter" eller "forlænger" sit polynomium, så ændrer man dets værdier, men pointen er, at nulpunkterne er uændrede, for hvis f(x)=0, så er r·f(x)=0 for ethvert r i de reelle tal - specielt også for r i de rationale tal eller hele tal, som det er aktuelt at se på i denne opgave.

Hvis de rationale rødder i et polynomium med helstalskoefficienter skal findes i Z, altså mængden af hele tal, må q være ligmed 1, da den eneste måde man kan skrive et helt tal i en uforkortelig brøk er p/1.
Ud fra det ser man, at hvis højestegradsleddet i polynomiet har koefficienten 1, så vil de rationale rødder blive hele tal.
Det betyder at rationale rødder i polynomier med heltalskoefficienter, og et højestegradsled med koefficienten 1, må befinde sig i Z.
Dette gælder også for polynomier der kan forkortes således at, højestegradsleddet bliver 1 og resten af koefficienterne forbliver heltallige
 

Dækker det nogenlunde det bevis du ville frem til?

Præcis!