tangent til differentiabel funktion

Bevis formel for tangentens ligning.

det er jo ikke tilfældigt, at der først spørges om rette linjer og dernæst om tangent til differentiabel funktion

1)  ret linje:
     det karakteristiske er
                                                         Δy/Δx = a 
hvoraf
med
to forskellige fixpunkter P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂)
og et herfra forskelligt, vilkårligt  variabelt punkt P(x,y)

(y-y₁)/(x-x₁) = a = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

(y-y₁) = a*(x-x₁)  hvor a beregnes af  a = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

y = ax + (y₁-ax₁)
dvs.
y = ax + b              med b = y₁-ax₁

a kaldes differenskvotienten
 

2)  sekantens grænseværdi:
     ovenstående anvendes nu
med de to fixpunkter liggende på grafen for den differentiable funktion

grafens tangent i P₁ tegnes
Det ses, at jo tættere på P₁ P₂ vælges
desto mere nærmer kurvesekanten sig til tangenten i P₁.

Tangenten er således grænselinjen for sekanten, når P₂ → P₁
dvs. x₂ → x₁  og dermed  x₂ - x_{1 =} Δx → 0.

Grænseværdien for sekantens differenskvotient
limes Δy/Δx = dy/dx = f '(x₁) kaldes tangentens differentialkvotient
_Δx→0

hvor der med differentialer forstås infinitesimale = uendeligt små værdier af Δy og Δx

Hermed haves for tangentligningen:
y = f '(x₁)x + (y₁-f '(x₁)x₁)

Det ses, at ligningen kun er bestemt af røringspunktet P₁'s koordinater, som oprindeligt fik indeks 1 til forskel fra punkt P₂. Det er således ikke længere nødvendigt  at skelne mellem "1 og 2", hvorfor punktet blot betegnes P_o.

Dermed noteres tangentligningen:

                                           y = f '(x_o)x + (y_o-f '(x_o)x_o)

 som er y = ax + b

med  a = f '(x_o) og b = y_o-f '(x_o)x_o