Opgave 1255 og 1263 - haster!

3*x-4*y=12<=>x=4/3*y +4. Den værdi indsætter du i cirklens ligning og løse med hensyn til y

arealet af trekanten er ½*højden gange grundlinien, tegn den op!

c: x² + y² + 6x - 2y = 15, som omskrives til

c: (x+3)² + (y-1)² = 15 + 9 +1 = 25

                                                 c: (x+3)² + (y-1)² = 5²

med centrum, C(-3,1),  og radius, r = 5

hvis
linjen l: 3x-4y-12 = 0 er tangent,
er
dist(l,(-3,1)) = r = 5
hvilket undersøges:

dist(l,(-3,1)) = |3*(-3)-4*1-12|/√(3²+(-4)²) = |-9-4-12|/√(25) = 25/5 = 5 = r
hvorfor

l: 3x-4y = 12    er tangent

linjen l: y = (3/4)x - 3 har hældningskoefficient (3/4)

en linje m gennem C parallel med l  deler planen i to halvplaner, hvor l ligger i m's negative halvplan
regnet med fortegn efter normalvektor [3,-4], da afstanden fra C regnet med fortegn er negativ (-5).

c har parameterfremstillingen
x = -3 + 5cos(t)
y =  1 + 5sin(t)

af en tegning ses, at l's røringspunkt R har parameteren  π/2 < t < π

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 5cos(t)/(-5sin(t) = (3/4)

hvoraf
-1/tan(t) = (3/4)

tan(t) = -(4/3)  
dvs.
t = t_o+p*π og p € {0,1}
t = t_o+π              da t_o<0

t = tan^-1(-4/3) + π = 2,2143

med

                                      R = (-3+5cos(2,2143);1+5sin(2,2143)) = (-6;5)

retningstankebommert:

det er C, som ligger i l's negative halvplan regnet med fortegn efter l's normalvektor [3,-4]
dvs.
i forhold til linjen m gennem C parallel med l, ligger l i m's positive halvplan
hvorfor

af

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 5cos(t)/(-5sin(t) = (3/4)

fås
-1/tan(t) = (3/4)

tan(t) = -(4/3)
dvs.
t = t_o+p*π og p € {0,1}
t = t_o+0*π da t_o skal være mindre end 0

t = tan^-1(-4/3)  = -0,927295

med

                              R = (-3+5cos(-0,927295);1+5sin(-0,927295)) = (0;-3)

...eller

l: y = (3/4)x - 3 som indsat i C's ligning (x_o+3)² + (y_o-1)² = 25
giver

(x_o+3)² + ((3/4)x_o - 3-1)² = 25 som reduceres til

(25/16)x_o² + 25 = 25
dvs.

x_o= 0 som indsat i l's ligning y = (3/4)x - 3
giver
y = -3

                                                         R = (0,-3)
 

Hvis man skal forenkle det lidt og fortælle det med ord, så kan man starte med at finde hældningskoeffecienten α for den linie, der går gennem punkterne (7,12) og (14,-5). Den kan vi kalde trekantens grundlinie. Da højden står vinkelret på grundlinien, så er hældningskoeffecienten for denne linie gennem (1,1) lig -1/α. Så kan man finde skæringspunktet og dermed højden. Så har man også arealet af trekanten.  

opgave 1263:

se
http://peecee.dk/upload/view/147196