Matematik
Svært spørgsmål jeg stiller?
Er der et godt menneske der kan bevise denne sætning, bare med andre ord? Så det måske er lidt nemmere at forstå til eksamen? jeg skal nemlig snart op
Sætningen gælder generelt, men vi vil kun bevise den i det tilfælde hvor f er en voksende funktion. Vi ser i første omgang på et indre punkt i x0 i intervallet, og vi vil bevise at arealfunktionen A er differentiabel med differentialkvotient f(x0). Vi ser derfor på differenskvotienten for funktionen A:
A(x) – A(x0)/ x – x0
I første omgang ser vi på det tilfælde, hvor x > x0. Tælleren A(x) – A(x0) o differenskvotienten må være lig med arealet af området B under grafen mellem de to lodrette røde linjestykker
B = {(t,y)¦x0 ≤ t ≤ x v 0 ≤ y ≤ f(t) }, for A(x) er arealet af området under grafen fra a til x0.
Da f er voksende, er området B en del af det rektangulære område mellem x0 – x
{(t,y)¦x0 ≤ t ≤ x v 0 ≤ y ≤ f(t) } der har arealet f(x) * (x-x0).
Derfor gælder at: A(x) – A(x0) ≤ f(x) * (x – x0)
Da x er større end x0, kan vi her dividere med (x-x0) uden at vende ulighedstegnet, og vi får:
A(x) – A(x0)/ x-x0 ≤ f(x)
På tilsvarende måde kan vi se at det rektangulære område mellem x0-x
{(t,y)¦x0 ≤ t ≤ x v 0 ≤ y ≤ f(x0) }
er en del af B.
Derfor må det gælde at f(x0) * (x-x0) ≤ A(x) – A(x0)
Igen kan vi dividere med (x-x0) og vi får
F(x0) ≤ A(x) – A(x0)/ x – x0
Svar #1
01. februar 2009 af Erik Morsing (Slettet)
Var det ikke en ide at skrive sætningen? Men du skal vel blot vise at ∑f(εk)*(xk-xk-1) for k=1,2,3...går mod integralet ∫f(x)dx, når n vokser på en sådan måde, at δxk→0. Du skal start med at dele dit interval i n delintervaller, hvor du vælger x'erne vilkårligt. I hvert nyt interval skal du danne ovennævnte sum og vælge punkterne ε vilkårligt. Så skal du danne Riemn summerne for de nedre og øvre grænser osv.
Svar #2
01. februar 2009 af Signesp (Slettet)
For en ikke-negativ kontinuert funktion f defineret i intervallet [a;b] er arealfunktionen en stamfunktion til f.
Skriv et svar til: Svært spørgsmål jeg stiller?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.