Parameterfunktioner - afstand mellem to punkter

Hvis vektorfunktione er (x(t), y(t), z(t)) er kvadratet på afstanden til origo x²+y²+z². Du skal blot minimisere denne funktion.

Hej Peter

Det er en vektorfunktion (altså parameterkurve :-)    )

Hvad mener du med, at minimisere?

Hvs jeg nu har:

x(t)=t2+ (1/t)

y(t)=3*sqrt(t)
 

Skal jeg så sætte funktionerne i anden?

Mange tak :) mvh petrozza

Ja

når d er distancen til (0,0)
haves:

d² = x² + y² = (t²+ (1/t))² + (3*√(t))² = t⁴ + 2t + t^-2 + 9t = t⁴ + t^-2 + 11t

når d er mindst er d² mindst
hvorfor du beregner minimum for d²
dvs t af ligningen

d' = 4t³ - 2t^-3 + 11 = 0               som multipliceret med t³ giver

4t⁶ + 11t³ - 2 = 0                       z = t³ ⇔ t = ³√(z)  (camoufleret 2. gradsligning)

4z² + 11z - 2 = 0 .............          her overta'r du selv den fortsatte beregning

Hej Mathon

Tusind tusind tusind tak!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Sidste spørgsmål: er det så t-værdien i 4.gradsligningen der er udtryk for afstanden?

Hvis du sætter den fundne t-værdi ind i parameterfremstillingen, får du det punkt på kurven, der ligger nærmest origo. Hvis du også vil have afstanden, skal du beregne afstanden fra dette punkt til origo som kvrod(x²+y²+z²)

Hej Peter

Det er jo ingen z - værdi?

Kan ellers godt se logikken i pythagoras.

Jeg har blot formuleret det så generelt som mulig nemlig i det 3-dimensionale tilfælde. I det 2-dimensionale tilfælde skal du blot droppe z

#6

4z² + 11z - 2 = 0

z₁ = (-11 - √(153))/8     z₂ = (-11 + √(153))/8

t₁ = -((√(153) - 11)/2 ≈ -1,4295      t₂ = (√(153) - 11)/2 ≈ 0,5552

hvor

t₁ må forkastes, da d² = t⁴ + t^-2 + 11t ≥ 0

konklusion:
d² = 0,5552⁴ + (0,5552)^-2 + 11*0,5552 = 9,44637

d_min = √(9,44637) = 3,07349