Side 6 - Skriftlig Matematik Eksamen 2009 - STX

Til dem der vil have en lidt mere uddybende forklaring til opgave 16 end blot et maple svar, giver jeg her den analytiske fremgangsmåde:

Jeg er desværre ikke inde i STX pensum i disse dage:

Hvis ikke man kender panserformlen, der giver en direkte løsning til en første ordens inhomogen differential ligning, findes der en mere snedig og forholdvis 'lige til' metode:

Vores problem ser således ud:

y(t)' = 0.03(g(t)-y(t)),          g(t) = 0.25t + 20
=>
y(t) '   + 0.03 y(t)    =    0.03 g(t)

desuden kendes at y(10)=0.

Denne form er den karakteristike differential ligning. Hvad mange af jer studser over (uden at kende til jeres forudsætninger), må formodes at være er højre siden af ligningen. Så i første omgang sætter vi bare denne til 0, hvor jeg formoder i kender løsningen.

Når højresiden = 0, kaldes ligningen homogen, om I kan lide denne betegnelse eller ej, betyder ikke det store, og I skal ikke lad jer forvirre her af.

Først løses den homogene ligning, ligningen hvor højre siden undlades.
HOM LIGNING:     y '+ 0.03y = 0

Hvor løsningen let findes ved den simpleste løsning en til en første ordens diff. lign.

HOM LØSNING :     y(t) = C exp(-0.03t),  hvor C er en abitrær konstant.

Her efter udnytter vi så at vi mangler en del af løsningen, i og med løsningen er lineær, må vi altså kunne lægge noget til den løsning vi har fundet, som udgør det manglende element.

Den fuldstændige løsning kan opstilles som en superposition af den homogene del og en 'partikulær løsning', som vi ønsker at finde.

L-INHOM = L-HOM + L-PART

Da højre siden forsimplet giver: 0,0075t + 0,6, må løsnigen vi leder efter være på samme form, altså:

y0 = At+ b

I overgangen må vi antage at der gælder kontinuitet, og at funktionen ligeledes må være differentiabel.

Ved indsættelse i den oprindelige ligning haves først:

y0(t) ' + 0.03 y0(t)  = 0.0075t + 0.6

(At+ b)'  + 0.03(At+ b) = 0.0075t + 0.6

Overgangskriterirerne medfører:

Differentieret på begge sider:

0.03A = 0.0075 = > A = 0.25 = 1/4

Kontinueritet i overgangen:

0,25 + 0.03b = 0.6 => b = 11,67  = 35/3

Således have den partikulære løsning:

y0 = L-PART  = t / 4 + 35/3

Således haves løsningen: y(t) = C exp(-0.03t) + t / 4 + 35/3

 - som flere af jer rigtig nok har fundet ved dsolve.

Her efter findes C ved den startbetingelse at y(10) = 0,

C bliver = -19.12

og herefter haves den fuldstændige løsning til problemet.

y(t) = (-19.12)*exp(-0.03t) + t / 4 + 35/3

Som mange er jer rigtig nok har fundet haves: y(320) = 91,67

DMUS mange tak for dit svar...

Men nu til det vilde:

Mat a muntlig: 12

Mat a skriflig: 12

SYNES DET FOR VILDT, havde aldrig forestillet mig det!!

De løste sæt fra maj kan ses her.

Skriftlig matematik stx a-niveau. maj 2009

og

Skriftlig matematik stx b-niveau. maj 2009

August og december-sættene er på vej.

Karam

Kan I ikke uploade opgaven fra maj herinde??

 kan i uploade opgave fra august 2009??

De er uploadede på www.studienet.dk

Karam

 er det også muligt at uploade opgaverne fra December? 

på forhånd tak. 

De er i gang med at blive gennemtjekkede og når det er klaret flyver de op.

Karam