Mindste afstand fra punkt til funktion

mindste afstand mellem

(x,√(x)) og (0,1)

d² = (x-0)² + (√(x)-1)²              d = d(ist)

når d er mindst er d² mindst

minimer d²

0,537841, det ser realistisk ud hvis man kigger på grafen. Kan du også få dette?

Kan en eller anden ikke uddybe udregningsmetoden en smule? Og måske også forklare, om det kan lade sig gøre efter samme fremgangsmåde, hvis man har et funktionsudtryk udtrykt som en andengradsligning.

 Jeg kan godt forklare, hvad mathon mener.

Den mindste afstand mellem en funktion og et punkt skal findes - metoden gælder for en hvilken som helst funktion, altså også en funktion af anden grad - et såkaldt andengradspolynomium.
Der findes ingen formler for en afstand mellem en funktion og et punkt(medmindre funktionen er en ret linje - se distanceformlen), men der findes en formel for afstanden mellem to punkter. Den hedder afstandsformlen: d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

hvor d er afstanden/distancen, x₂ og y₂ er koordinaterne til det ene punkt, og x₁ og y₂ er koordinaterne til det andet punkt.

Det ene punkt er (0,1). Dvs. x₁ = 0 og y₁ = 1. Det andet punkt er et vilkårligt(hvilket som helst) punkt på funktionen. Eftersom punktet er vilkårligt og dermed ukendt, kan vi ikke sætte tal på punktet. Vi må derfor nøjes med at benævne punktet (x₂,f(x₂)). Det kan vi gøre, fordi enhver y-værdi/funktionsværdi er afhængig af x-værdien, så hvis vi "kalder" x for x₂, vil funktionsværdien f(x) blive afhængig af x₂ og dermed hedde f(x₂). Eftersom vi ved, at funktionsforskriften er f(x)=√x, er vores y-værdi til det vilkårlige punkt på funktionen naturligvis y₂ = √x₂. Vi får altså, at

d² = (x₂ - 0)² + (√x₂ - ₁)²

Den mindste d-værdi skal findes. Det gøres ved først og fremmest at betragte afstanden i sig selv som en funktion af x, nemlig d(x). Funktionsforskriften for d(x) bestemmes ved at isolere d(tag kvadratroden på begge sider) og "ændre" x₂ til x.

d(x) = √((x - 0)² + (√x - 1)²)

Når funktionsværdien, altså d-værdien, er mindst, vil der være et globalt minimumspunkt. Altså kan vi finde den mindste afstand fra punktet til funktionen, hvis vi kender koordinaterne til det globale minimumspunkt. De koordinater kan vi finde ved at differentiere/aflede funktionen, sætte den differentierede/afledte funktion lig 0 og løse ligningen med hensyn til x (isolere for x). Jeg vil anbefale at bruge en grafregner eller matematikprogrammet Maple til at differentiere funktionen.
Den x-værdi, vi finder, vil være x-værdien til enten et minimums- eller maksimumspunkt. Vi skal så foretage en undersøgelse af monotoniforholdene, altså hvornår funktionen er voksende og aftagende - mere præcist skal vi sikre os, at funktionen er aftagende i intervallet ]-∞;x[ og voksende i intervallet ]x;∞[, altså at det er et minimumspunkt.
Hvis vi har fået mere end én x-værdi, vil der være flere ekstremumspunkt(minimums- eller maksimumspunkter), altså må vi undersøge, hvilket minimumspunkt der har den laveste y-værdi. Det minimumspunkt vil være det globale minimumspunkt.

Det globale minimumspunkts x-værdi indsættes nu i den oprindelige funktion på x's plads. Den ligning løses nu med hensyn til d. Den d-værdi vil være den absolut laveste d-værdi, altså vil den være den mindste afstand fra funktionen f(x) = √x til punktet (0,1). Jeg håber, det hjælper :)

Der er tale om at finde den mindste afstand fra et givet punkt P(a,b) til grafen for en funktion f(x). Afstanden fra det givne punkt til et punkt (x , f(x)) på funktionens graf er

d(x) = √( (x-a)² + (f(x)-b)² ) ,

og det drejer sig om at finde minimum for funktionen d(x) . Vi søger derfor løsningerne til ligningen

d'(x) = 0 , dvs

(2·(x-a) + 2·(f(x)-b)·f'(x)) / (2·d(x)) = 0 , dvs

(x-a) + (f(x)-b)·f'(x) = 0 , forudsat, at d(x) > 0 .

Løsningerne til ligningen d(x) = 0 kan løses særskilt:

d(x) = 0 ⇒ (x-a)² + (f(x)-b)² = 0 ⇒ x = a ∧ f(x) = b , dvs punktet P ligger på funktionens graf.

For den aktuelle opgave er (a,b) = (0,1) og f(x) = √x , så vi skal løse ligningen

x + ((√x)-1)/(2√x) = 0 , dvs

x + (1/2) = 1/(2√x) , hvoraf

x² + x + (1/4) = 1/(4x) , eller

4x³ +4x² +x -1 = 0 ,

hvis eneste reelle rod er x = 0,3478103847799299 .