Differentialligning 1

Brug et CAS værktøj

#2

ville man ikke også kunne integrere dy/dx og så sige plus "k", indsætte punkterne i funktionen og så isolere K..

så finder man vel funktionsforskriften som går gennem punktet..

#2. Nej. Det går ikke fordi der i højre side indgår y, som du ikke kender. Den kan løses med håndkraft enten med en blandning af separation af variable og fornuftigt gæt eller ved brug af formlen for løsningen af differentialligning y'+f(x)*y=g(x)

Altså jeg har fået svaret til f(x)= x+4-(1/e). Kan det passe? Til at starte med har jeg brugt en sætning, der siger: f(x)=(b/a)+c*e^-ax, hvor jeg har fået y=x+c*e^-(1/1)*1, hvoraf jeg har isoleret c=4*e-1. Som indsat i f(x)=(b/a)+c*e^-ax giver f(x)= x+4-(1/e). Kan det passe?

f(x)=(b/a)+c*e-ax gælder kun for e bestemt differentialligning og det er ikke den opskrevne. Du kan enten bruge mulighederne nævnt i #3 eller et CAS værktøj.

Ok men jeg forstår faktisk ikke det du mener i #3. Grunden til jeg har beregnet opgaven på den måde jeg har, er fordi der er et eksempel i min bog der er magen til den opgave. Men hvordan vil du regne den i hånden?

Jeg vil omskrive ligningen til y'-(1/x)y = 1. Der gælder at løsning til en differentialligningen y+f(x)y = g(x) har løsningen y=e^-F(x)∫e^F(x)g(x)dx hvor F er en stamfunktion til f. Den anden måde består i at du gætter på en funktion af samme form som højre side her et førstegrads polynomium. Sæt det ind i differentialligningen for at finde parametene. Dernæst drop højre side. Så har du dy/dx = y/x. Dette omskrives til (1/y)dy = (1/x)dx som integreres. Summen af den fremkomne løsnig og gættet er den fuldstændige løsning.

y' + (-(1/x)y = 1

f(x) = -(1/x)

F(x) = -ln(x)

e^F(x) = e^-ln(x) = (e^ln(x))^-1 = x^-1 = 1/x

e^-F(x) = e^ln(x) = x

y = e^-F(x)∫e^F(x)g(x)dx = x∫(1/x)·1dx = x·(ln(x) + C)

y = x·ln(x) + Cx  og  4 = 1·(ln(1) + C·1) = C

hvoraf
      y = x·ln(x) + 4x          

Tak for det.

Hej Mathon
Jeg har lige et spørgsmål angående dit svar i #8. Hvor slutter din parentes? =>
y' + (-(1/x)y = 1

Og dette trin forstår jeg heller ikke rigtig??

y = e-F(x)∫eF(x)g(x)dx = x∫(1/x)·1dx = x·(ln(x) + C)

#10

y' + (-(1/x))·y = 1