rum-vektorer og plan

Puh, det er laaang tid siden, jeg har regnet med vektorer.

Men du har en parameterfremstilling, der består af et punkt og en retningsvektor. Du har ydermere endnu et punkt. Ved at trække det ene punkt fra det andet, får du vist endnu en retningsvektor. Når du har to retningsvektorer kan du finde deres krydsprodukt, der svarer til en normalvektor. Et plans ligning består af et punkt og en normalvektor. Du har nu begge dele og kan blot opskrive ligningen.

Du har x=4+0t, y=0+2t og z=1+t, så går den rette linie gennem P= (x₀,y₀,z₀) = (4,0,1), og din ligning for planen er A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀). Du har også punktet A. Desuden en parameterfremstilling for linien x=x₀+at, y=y₀+bt og z=z₀+ct kan skrives om, hvis vi eliminerer parameteren t, så dan her (x-x₀)/a = (y-y₀)/b = (z-z₀)/c Det kalder man standardformen for ligningen af den rette linie gennem (x₀,y₀,z₀)

Rettelse, der skal stå: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

Tak for begge svar! Jeg har lige forsøgt mig med #2's metode.. Men jeg er ikke helt med på, hvordan jeg bestemmer ligningen

du har to punkter
                           P_o(4,0,1) og A(2,3,-5)
hvoraf du
kan danne vektoren P_oA
og linjens retningsvektor r[0,2,1]

hvoraf du kan beregne den ønskedes plans normalvektor ved at danne deres krydsprodukt.

Efterfølgende kan
planen beskrives
som
     α:       {P(x,y,z) | n·P_oP = 0}

#5 og #1 er præcis det samme.

#5 er ikke en korrektion til #1
men
en konkretiserende håndsrækning til #0 forårsaget af ytringen i #4:
"... Men jeg er ikke helt med på, hvordan jeg bestemmer ligningen"
 

Det forstod jeg skam. Det var mere for at sikre mig, at #0 ikke blev forvirret af, at der kom "endnu" et løsningsforslag.

Måske et dumt spg. Men #5 hvordan er det lige man beregner retningsvektoren?

nåårh.. det kan man jo aflæse i parameterfremstillingen.

Jeg får såvektor P0A til værende (-2, 3, -6) og for således vektor P0A kryds retningsvektoren til at være = (15, 2, -4)

Så forstår jeg blot ikke følgende: α: {P(x,y,z) | n·PoP = 0}

#12 Det er det samme som planens ligning, det kan du se, hvis du ganger ud, der står oversat, mængden af punkter (x,y,z), der tilfredsstiller prikproduktet = 0

Ok.. Hvis jeg så benyter den formel, du tidligere gav: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

Skal jeg vel indsætte normalvektorens koordinater for A, B og C og punktet P0 (4, 0, 1) for x0, y0 og z0, ikke sandt? Og så skal x, y og z vel bare være?

Ja normalvektoren er A*i + B*j + C*k, så n*P₀A, skal være lig 0,  P₀A = (-2,3,-6), så vi får (-15,-2,4)*(-2,3,-6) = 0, som det skal være (-15,-2,4) er krydsproduktet af de to kendte vektorer, så det er normalvektoren.

Forresten.. Det endelig svar hedder så: 15x+2y-4z=64 ikke sandt?