3 dimensionelt rum

Du starter med at finde overfladen udtrykt ved z, nu gider jeg ikke kørte det hele igennem, men lad os sige, at z=x²+y² (ved godt det ikke er det, men det er kun et eksempel). Så sætter du x=u, y=v og z=u²+v². Det er din parameterfremstilling af overfladen, så er positionsvektoren til et vilkårligt punkt på overfladen r=u*i+v*j+(u²+v²)*k.  En normal til overfladen er så ∂r/∂u × ∂r/∂v

årh det har jeg aldrig hørt om i matematik

?

hvorfor regner du en normal til overfladen, når man skal bestemme et skæringspunkt ?

cirklens ligning:
                       x² + y² + (z-5)² = r²              hvori P's koordinater indsættes:
                       2² + (−1)² + (7 - 5)² = r²
                       4 + 1 + 4 = r² = 3²
 

det efterprøves
om α er tangentplan
dvs. C(0,0,5) skal ligge i afstanden 3 fra α:

                       dist(α,)) = |0+2·0−2·5+1|/√(1²+2²+(-2)²) = |-9|/√(9) = 9*3 = 3

α er altså tangentplan.

 

linjen l gennem C(0,0,5) parallel med planen α's normalvektor n(1,2,-2)

har ligningen
               l:     (x,y,z) = (0,0,5) + t(1,2,-2)
dvs

               l:      x = t
                       y = 2t
                       z = 5 - 2t

skærer α for den t-værdi
for hvilken
                t + 2·(2t) − 2·(5 - 2t) + 1 = 0        (planens ligning med t indsat)

dvs.          for t = 1

hvoraf            x = 1
                      y = 2·1 = 2
                      z = 5 - 2·1 = 3

røringspunktet er således

                      R = (1,2,3)