generel forskrift for andengradspolynomier

Et andengradspolynomium er en funktion med forskriften:

f(x) = ax²+bx+c

De er en del af familen af funktioner kaldet polynomier.

Det sidste spørgsmål giver ikke mening - man kan ikke løse et andengradspolynomium, for det er bare en funktion. Ofte er man interesseret i rødderne til andengradspolynomiet. Det vil sige man søger løsningerne til ligningen:

ax²+bx+c=0 , men streng taget bliver du jo ikke spurgt om dette, så hvis du ellers har givet hele opgave teksten her, så er det opgavestillerens problem (efter min mening).

2. gradspolynomie er en funktion af typen f(x) = a₂x² + a₁x + a₀. Familien kaldes polynomier.  De kan være af n'te grad (hvor n er et helt tal). Den generelle forskrift er

hvor a_i er koefficienten til i'te gradsleddet.

2. gradspolynomier løses (dvs. rødderne bestemmes) ved hjælp af en procedure, der kaldes "fuldstændiggørelse af kvadratet".

Vi tager udgangspunkt i ax² + bx + c = 0 og dividerer først igennem med a: x² + (b/a)x + c/a = 0. Ved at bruge kvadratsætningen "baglæns", omskriver vi dette til (x+b/(2a))² - b²/(4a²) + c/a = 0. Nu løser vi så ligningen for x:

(x+b/(2a))² - b²/(4a²) + c/a = 0 ⇔ [behold parentesen med x'et på venstresiden, ryk resten over]

(x+b/(2a))² = b²/(4a²) - c/a ⇔ [gang igennem med 4a²]

4a²(x+b/(2a))² = b² - 4a²c/a ⇔ [tag kvadratrod på begge sider]

2a(x+b/2a) = ±√(b²-4ac) ⇔ [gang ind i parentesen på venstresiden]

2ax + b = ±√(b²-4ac) ⇔ [isoler x]

x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a) [dette er løsningsformlen for en 2. gradsligning]