Matematik
Logistisk vækst
Hej!
Jeg sidder med en opgave, som driller lidt:
I en model for, hvordan en bestemt population udvikler sig i tiden løb, antages det, at populationens væksthastighed er proportional med populationens størrelse. Tiden t måles i døgn, og proportionalitetskonstanten er 0,084. Det antages, at der til at begynde med er 10 individer i populationen.
a) Opskriv en differentialligning, der beskriver populationens udvikling
Mit svar: y ' = 0,084 · y
b) Bestem ved hjælp af modellen antallet af individer efter 7 døgn.
Mit svar: Jeg løser først den løsning, hvis graf går gennem (0,10), og herefter løses y(7), og resultatet bliver 18.
Nu kommer mit problem:
I modellen antages det, at populationens vækst efter de 7 døgn ændrer sig, således at antallet af individer i populationen som funktion af tiden t opfylder differentialligningen:
dy/dx = 0,0022y(100-y)
c) Bestem, hvor mange døgn, der går, før antallet af individer i populationen er nået op på 90% af populationens maksimum.
Jeg er lidt på bar bund her. Jeg har siddet og fedtet med at løse differentialligningen, men jeg kom ikke rigtig videre. Er der nogen, som kan hjælpe mig?
På forhånd tak.
Svar #1
05. marts 2010 af jnl123
Når hældningen af kurven er 0 er der et toppunkt. Dvs. når dy/dx = 0 :
0,0022y(100-y)=0 => y=0 eller y=100 (Dvs. 100 er den maximale population)
Dvs. hvad er x når y=90 (90% af 100)?
Løs differentialligningen med begyndelsesbetingelse y(0) = 18. Find så x, når: y(x)=90. Husk at lægge 7 til bagefter
Svar #3
05. marts 2010 af Andersen11 (Slettet)
I c) kan du umiddelbart se, hvad populationens maksimum er, fordi dy/dx her må være 0. Det indtræffer, netop når y = 100. Hvis y < 100, er dydx > 0 og populationen vokser.
Løs differentialligningen ved isolation af de variable.
Svar #5
05. marts 2010 af Imperfektum (Slettet)
#1 Okay, altså:
Jeg løser ligningen og får:
y = f(x) = (100,0 ·(1,24607673059)x)/((1,24607673059)x+4,5555555555556)
Så finder jeg x, når y er lig med 90 og får x = 16,88
Hvorfor lægges der 7 til?
Mange tak for svaret i øvrigt.
Svar #6
05. marts 2010 af papas (Slettet)
y'=(b-ay)*y har løsningen y = b/a/(1+ke^(-bx))
her b= 0,22 a=0,0022 b/a =100 f(0)= 100/(1+k) =18 dermed k=41/50
f(x)= 90 for x=9.1 dermed ca. 16 d.
Skriv et svar til: Logistisk vækst
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.