hjælp til at undersøg, om L er tangent til K

Brug afstandsformlen.

Ud fra kuglens ligning finder du kuglens radius og centrum, og afstanden fra centrum til linjen L skal være lig radius, hvis L skal være en tangent til K.

Først skal du omskrive kuglens ligning korrekt. Når vi har den på formen

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²

kan man deraf se, at det er en kugle med cenrum i (a, b, c) med radius r. Du skal se på, hvad du skal addere på venstre side for at komplettere kvadraterne på de toleddede størrelser med x, y, og z :

(x - 2)² + (y + 1)² + (z - 1)² -4 -1 -1 = 36 , or dermed

(x - 2)² + (y + 1)² + (z - 1)² = 36+4+1+1 = 42 .

Kuglen har altså centrum i C(2, -1, 1) og den har radius r = √42 .

Hvis en linie er tangent til kuglen, vil afstanden fra kuglens centrum til et punkt på linien være mindst mulig, når punktet er i liniens røringspunkt med kuglen, og denne mindste afstand vil da være lige med kuglens radius.

Lad os da finde afstanden fra kuglens centrum C til et punkt på den givne linie L . Et punkt på linien har formen

(x(t), y(t), z(t)) = (-5t - 8; 7t + 2; -3t -3). Kvadratet på afstanden d til kuglens centrum C er da

d² = (-5t - 10)² + (7t + 3)² + (-3t - 4)² = 25t² + 100t + 100 + 49t² + 42t + 9 + 9t² + 24t + 16 = 83t² + 166t + 125 .

Vi differentierer nu d²(t) for at finde minimum for d² : 166t + 166 , der er nul for t = -1 . Den mindste afstand fra kuglens centrum til linien er da

d_min = √(d²(-1)) = √(83-166+125) = √42 = r. Den mindste afstand fra kuglens centrum til linien er da netop lig med kuglens radius, hvoraf vi slutter, at linien er tangent til kuglen.

             (x-2)² + (y+1)² + (z-1)² = √(42)²

L:          x = -8 - 5t
             y = 2 + 7t
             z = -3 - 3t

hvis L er tangent
har
            
            (-8-5t-2)² + (2+7t+1)² + (-3-3t-1)² - 42 = 0      netop én løsning