Matematik
hej igen!
24. februar 2005 af
Lisa2004 (Slettet)
jeg har lige opretet en anden indlæg da jeg ikke kunne finde den som hed definitionsmængden og værdimængden
håber at der er nogen som kan hjælpe mig med et par problemer.
opgave 1:
En funktion f er bestemt ved:
f(x)=(2x+3)/(x+2)
Bestem definitionsmængden for f.
Bestem monotoniforholdene for f.
Bestem værdimængden for f.
Jeg har differentieret funktionen og fik følgende.
f ` (x) = (1) / ((x+2)^2)
Definitionsmængden er R / (-2)
Monotoniforholden kan jeg ikke finde da jeg ikke kan sætte f `(x) = 0. hvad skal jeg så gøre.
Ud fra funktionen kan vi se at x = -2 er en asymptote eftersom x = -2 er en rod i nævneren men ikke i tælleren. Vil det så sige at også x = -3 / 2 er en asymptote for funktionen eftersom x = -3/2 er en rod i tælleren men ikke i nævneren.
værdimængden for f ?
opgave 2.
En funktion f er bestemt ved:
f(x) = (e^x) / (2x-1) , x € (-3;3) \\ (1/2)
Bestem monotoniforholdene for f og angiv de lokale ekstremussteder for f.
Bestem en ligning for asymptoten til grafen for f.
Bestem værdimængden.
Ved at differentiere f kan vi finde monotoniforholdene og de lokale ekstremussteder.
f`(x) = (e^x * 2x – 3) / (2x-1)^2
f`(x) = 0 <=> x= 3/2
f`(-1)=-0,204
f`(1)=-2,718
f`(2)=2,463
ud fra fortegns linien kan vi se at f(x) er aftagende i:
(-3;1,5) / (-0,5)
f(x) er voksende i (1,5 ; 3)
f har lokalt maximum i 3 og i -3
f har lokalt minimum i 1,5
ved at sætte nævneren = 0 kan vi finde asymptoten.
2x-1 = 0
x = 1 / 2
dvs. at x=1/2 er en vandret asymptote for f.
værdimængde
f(-3)=-0,007122
f(1,5)= 2,241
f(3)=4,017
ud fra dette kan vi så se at Vm(f)= )-uendelig ; -0,007) og i (2,24; + uendelig(
opgave 3.
En funktion f er bestemt ved:
f(x)= (x) / ( x^2 + x -12)
bestem definitionsmængden for f
bestem en ligning for hver af asymptoterne til grafen for f
bestem en ligning for tangenten t til grafen for f i punktet P(0, f(0))
tangenten t har endnu et fællespunkt Q med grafen for f
beregn koordinatsættet for Q
Definitionsmængden er R / (-4,0 og 3)
x^2 + x -12 = 0
d=b^2-4ac = 1^2 – 4* 1 * -12 = 49
x= (-b +- sqr(d)) / (2a)
x= (-1 +- sqr(49)) / (2*1)
x= (-1+7) / (2) v x = (-1-7) / 2
x= 3 v x = -4
skal man så bare indsætte de fundende værdier nævneren for at finde asymptoterne.
f(0)=0
dvs. at punktet p ligger ved p(0,0)
f`(x)= -(x^2 + 12) / ( x^2 +x -12)^2
vha. formlen y(x)=f(xo)+f`(xo)(x-xo) kan vi finde tangenten.
Y(x)= - 1/12x
Så har jeg fundet den sidste y(x)=f(x) vha lommeregneren og fik x= -1
F(-1)=0,083
Dvs at punktet Q har kordinatsæt (-1, 0,083)
Håber at der en nogen som kan hjælpe mig med de steder hvor jeg har problemer.
Med venlig hilsen
Lisa
håber at der er nogen som kan hjælpe mig med et par problemer.
opgave 1:
En funktion f er bestemt ved:
f(x)=(2x+3)/(x+2)
Bestem definitionsmængden for f.
Bestem monotoniforholdene for f.
Bestem værdimængden for f.
Jeg har differentieret funktionen og fik følgende.
f ` (x) = (1) / ((x+2)^2)
Definitionsmængden er R / (-2)
Monotoniforholden kan jeg ikke finde da jeg ikke kan sætte f `(x) = 0. hvad skal jeg så gøre.
Ud fra funktionen kan vi se at x = -2 er en asymptote eftersom x = -2 er en rod i nævneren men ikke i tælleren. Vil det så sige at også x = -3 / 2 er en asymptote for funktionen eftersom x = -3/2 er en rod i tælleren men ikke i nævneren.
værdimængden for f ?
opgave 2.
En funktion f er bestemt ved:
f(x) = (e^x) / (2x-1) , x € (-3;3) \\ (1/2)
Bestem monotoniforholdene for f og angiv de lokale ekstremussteder for f.
Bestem en ligning for asymptoten til grafen for f.
Bestem værdimængden.
Ved at differentiere f kan vi finde monotoniforholdene og de lokale ekstremussteder.
f`(x) = (e^x * 2x – 3) / (2x-1)^2
f`(x) = 0 <=> x= 3/2
f`(-1)=-0,204
f`(1)=-2,718
f`(2)=2,463
ud fra fortegns linien kan vi se at f(x) er aftagende i:
(-3;1,5) / (-0,5)
f(x) er voksende i (1,5 ; 3)
f har lokalt maximum i 3 og i -3
f har lokalt minimum i 1,5
ved at sætte nævneren = 0 kan vi finde asymptoten.
2x-1 = 0
x = 1 / 2
dvs. at x=1/2 er en vandret asymptote for f.
værdimængde
f(-3)=-0,007122
f(1,5)= 2,241
f(3)=4,017
ud fra dette kan vi så se at Vm(f)= )-uendelig ; -0,007) og i (2,24; + uendelig(
opgave 3.
En funktion f er bestemt ved:
f(x)= (x) / ( x^2 + x -12)
bestem definitionsmængden for f
bestem en ligning for hver af asymptoterne til grafen for f
bestem en ligning for tangenten t til grafen for f i punktet P(0, f(0))
tangenten t har endnu et fællespunkt Q med grafen for f
beregn koordinatsættet for Q
Definitionsmængden er R / (-4,0 og 3)
x^2 + x -12 = 0
d=b^2-4ac = 1^2 – 4* 1 * -12 = 49
x= (-b +- sqr(d)) / (2a)
x= (-1 +- sqr(49)) / (2*1)
x= (-1+7) / (2) v x = (-1-7) / 2
x= 3 v x = -4
skal man så bare indsætte de fundende værdier nævneren for at finde asymptoterne.
f(0)=0
dvs. at punktet p ligger ved p(0,0)
f`(x)= -(x^2 + 12) / ( x^2 +x -12)^2
vha. formlen y(x)=f(xo)+f`(xo)(x-xo) kan vi finde tangenten.
Y(x)= - 1/12x
Så har jeg fundet den sidste y(x)=f(x) vha lommeregneren og fik x= -1
F(-1)=0,083
Dvs at punktet Q har kordinatsæt (-1, 0,083)
Håber at der en nogen som kan hjælpe mig med de steder hvor jeg har problemer.
Med venlig hilsen
Lisa
Svar #1
24. februar 2005 af sontas (Slettet)
Altså i den første må du konstatere, at der ikke kan være nogle vandrette tangenter, eftersom grafen aldrig vil kunne nå den vandrette asymptote. Da der ikke er nogle ekstrema må grafen nødvendigvis være voksende i alle punkter dette ses af grafen eller blot ved det faktum at ((x+2)^2)
aldrig kan antage en negativ værdi.
aldrig kan antage en negativ værdi.
Svar #2
24. februar 2005 af cultzisme (Slettet)
Delsvar på opgave 1:
Da f'(x) altid er positiv, er de funktion voksende i intervaller ]-uendelig ; -2[ og ]-2, + uendelig]
Da f'(x) altid er positiv, er de funktion voksende i intervaller ]-uendelig ; -2[ og ]-2, + uendelig]
Svar #4
24. februar 2005 af Epsilon (Slettet)
Lisa:
Monotoniforholdene er kommenteret i #1-#3. Værdimængden for f er lidt vanskeligere at bestemme. Lad os undersøge f i en omegn af x = -2.
Til det formål betragter vi funktionen
1/f(x) = (x+2)/(2x+3), x ikke -3/2
I et lille interval til højre for -2 er f(x)
1/f(x) -> 0 for x -> -2(+)
hvoraf det sluttes, at
f(x) -> -inf for x -> -2(+)
I et lille interval til venstre for -2 er f(x) > 0. Ved tilsvarende argumentation som før indser man, at
f(x) -> inf for x -> -2(-)
Desuden gælder (tjek selv), at
f(x) -> 2 for x -> +/-inf
hvorved y = 2 er vandret asymptote til grafen for f. Da f tillige er kontinuert på sin definitionsmængde, følger det, at
V_f = R\\{2}
//Singularity
Monotoniforholdene er kommenteret i #1-#3. Værdimængden for f er lidt vanskeligere at bestemme. Lad os undersøge f i en omegn af x = -2.
Til det formål betragter vi funktionen
1/f(x) = (x+2)/(2x+3), x ikke -3/2
I et lille interval til højre for -2 er f(x)
1/f(x) -> 0 for x -> -2(+)
hvoraf det sluttes, at
f(x) -> -inf for x -> -2(+)
I et lille interval til venstre for -2 er f(x) > 0. Ved tilsvarende argumentation som før indser man, at
f(x) -> inf for x -> -2(-)
Desuden gælder (tjek selv), at
f(x) -> 2 for x -> +/-inf
hvorved y = 2 er vandret asymptote til grafen for f. Da f tillige er kontinuert på sin definitionsmængde, følger det, at
V_f = R\\{2}
//Singularity
Svar #5
24. februar 2005 af Epsilon (Slettet)
Lisa:
Opgave 2:
Jeg ud fra, at du mener [-3;3]\\{1/2}. Men du bruger ( og ), som faktisk benyttes ved åbne intervaller. Følgende notation er standard;
[a;b]: lukket
[a;b[ eller [a;b): (halv)åbent til højre
]a;b] eller (a;b]: (halv)åbent til venstre
]a;b[ eller (a;b): åbent
a)
Brug notationen ovenfor, så er det hele korrekt.
b)
Asymptoten er ganske vist LODRET, men ellers er det korrekt, at ligningen for asymptoten er
x = 1/2
c)
Med korrekt notation er værdimængden
V_f = ]-inf ; e^(-3)/(-7)] u [e^(3/2)/2 ; inf[
//Singularity
Opgave 2:
Jeg ud fra, at du mener [-3;3]\\{1/2}. Men du bruger ( og ), som faktisk benyttes ved åbne intervaller. Følgende notation er standard;
[a;b]: lukket
[a;b[ eller [a;b): (halv)åbent til højre
]a;b] eller (a;b]: (halv)åbent til venstre
]a;b[ eller (a;b): åbent
a)
Brug notationen ovenfor, så er det hele korrekt.
b)
Asymptoten er ganske vist LODRET, men ellers er det korrekt, at ligningen for asymptoten er
x = 1/2
c)
Med korrekt notation er værdimængden
V_f = ]-inf ; e^(-3)/(-7)] u [e^(3/2)/2 ; inf[
//Singularity
Svar #6
24. februar 2005 af Epsilon (Slettet)
Opgave 3:
a) Definitionsmængden for f er
D_f = R\\{-4,3}
b) Grafen for f har tre asymptoter - de to lodrette, som du har angivet ligningerne for, samt en vandret.
lodrette: x = -3, x = 4
vandret: y = 0
Den vandrette asymptote følger af, at
f(x) -> 0 for x -> +/-inf
hvilket sluttes i og med, at tælleren x majoriseres af nævneren x^2 + x - 12.
c) Tangentligningen er korrekt.
d) Enig, men du skal beregne koordinatsættet til Q ifølge opgaveteksten, så en henvisning til grafregnerens resultat er ikke tilstrækkeligt her. Vi skal løse ligningen
f(x) = -x/12
og idet x er forskellig fra 0, dividerer vi igennem med x, så
1/(x^2 + x - 12) = -1/12
eller, hvad der er det samme;
x^2 + x - 12 = -12
så
x(x + 1) = 0
hvoraf x = -1 (x var 0-forskellig). Den tilsvarende y-koordinat beregnes
y(-1) = -(-1)/12 = 1/12
Så koordinatsættet til Q er
Q(-1,1/12)
//Singularity
a) Definitionsmængden for f er
D_f = R\\{-4,3}
b) Grafen for f har tre asymptoter - de to lodrette, som du har angivet ligningerne for, samt en vandret.
lodrette: x = -3, x = 4
vandret: y = 0
Den vandrette asymptote følger af, at
f(x) -> 0 for x -> +/-inf
hvilket sluttes i og med, at tælleren x majoriseres af nævneren x^2 + x - 12.
c) Tangentligningen er korrekt.
d) Enig, men du skal beregne koordinatsættet til Q ifølge opgaveteksten, så en henvisning til grafregnerens resultat er ikke tilstrækkeligt her. Vi skal løse ligningen
f(x) = -x/12
og idet x er forskellig fra 0, dividerer vi igennem med x, så
1/(x^2 + x - 12) = -1/12
eller, hvad der er det samme;
x^2 + x - 12 = -12
så
x(x + 1) = 0
hvoraf x = -1 (x var 0-forskellig). Den tilsvarende y-koordinat beregnes
y(-1) = -(-1)/12 = 1/12
Så koordinatsættet til Q er
Q(-1,1/12)
//Singularity
Skriv et svar til: hej igen!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.