Funktionsteori (uni)

Hint:

Hvis c er centrum i cirklen, så er |z-c|=r<=>|z-c|²=r²=|z-c|*|z-c|_konjugeret=r². Gang den ud og multiplicer med en reel konstant a og få ligningen på formen a*z*z_konjugeret+bz+cz_konjugeret+d=0, hvor a og d er reelle og b og c er kompleks konjugerede. Bemærk også, at når a er 0, definerer ligningen en ret linie. 

#1 Du må gerne uddybe. Jeg er ikke med på det.

Punkter på cirklen er defineret som de punkter, der har samme afstand r fra et givet punkt, cirklens centrum. Nu beskriver vi punkterne som tal i den komplekse talplan. Jeg bruger fremgangsmåden i #1, men med notation, der er tilpasset opgavens formulering.

Lad b være det komplekse tal, der repræsenterer cirklens centrum. Et punkt z på cirklen må da opfylde

|z - b| = r .

For ethvert komplekst tal w gælder der, at |w|² = w·w , hvor understregning her skal betyde kompleks konjugering . Da har vi

|z-b|² = r² , hvoraf

(z - b)·(z - b) = r² , eller

z·z - bz - bz + bb = r² , eller

|z|² - bz - bz + |b|² - r² = 0 ,

der har den ønskede form, da |b|² - r² ∈R .

Antag omvendt at vi har en ligning af formen

a|z|² + bz + bz + c = 0 , hvor a, c ∈R og b ∈C .

Sæt nu z = x + iy og b = b₁ + ib₂ , og indsæt disse i ligningen:

a(x² + y²) + b₁x + ib₁y - ib₂x + b₂y + b₁x - ib₁y + ib₂x + b₂y + c = 0 , hvoraf

a(x² + y²) + 2b₁x + 2b₂y + c = 0 .

Hvis a = 0 , reduceres dette til 2b₁x + 2b₂y + c = 0 , der repræsenterer en ret linie, hvis b₁ ≠ 0 eller b₂ ≠ 0. Hvis b₁ = 0 og b₂ = 0 (altså det komplekse tal b = 0), er c ifølge opgavens antagelse ≠ 0, og ligningen c = 0 har derfor ingen løsninger.

Hvis a ≠ 0, får vi

a(x + b₁/a)² + a(y + b₂/a)² + c - b₁²/a - b₂²/a = 0 , eller

(x + b₁/a)² + (y + b₂/a)² = (b₁/a)² + (b₂/a)² - c/a .

Vi ser, at dette fremstiller en cirkel, hvis (b₁/a)² + (b₂/a)² - c/a > 0 ; et punkt, hvis (b₁/a)² + (b₂/a)² - c/a = 0 ; og den tomme mængde, hvis (b₁/a)² + (b₂/a)² - c/a < 0 .

#3 Mange tak. :)