Bestem længde (sammensat bevægelse)

Mon ikke du mener

OP = (x(t),y(t)) = (6*cos(t) , 6*sin(t)) + (3*cos(2t) , 3*sin(2t)) ?

Altså

OP = 6 (cos(t) ; sin(t)) + 3 (cos(2t) ; sin(2t))

Kurven, der gennemføres af tekoppen, kaldes en epicykloide, og du kan læse mere om dem her

http://mathworld.wolfram.com/Epicycloid.html 

Længden af kurven svarende til een tur, dvs 0 ≤ t ≤ 2π kan beregnes som

L = ∫^2π₀ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt

   = ∫^2π₀ √(36(sin²t + sin²(2t) + 2sint sin(2t) + cos²t + cos²(2t) + 2cost cos(2t))) dt

   = ∫^2π₀ 6 √(2 + 2sint sin(2t) + 2cost cos(2t)) dt

   = ∫^2π₀ 6 √2 √(1 + cost) dt

Jo - du har ret med hensyn til opskrivning af vektorfunktionen. havde vidst sat nogle forkerte parenteser! MEN:

1) Hvor har du formlen for længden fra?

2) Kan ikke helt se hvordan jeg får de 66 sek. ind i billedet?

Jeg brugte formlen for længden af en kurve r(t)

L = ∫^b_a |dr/dt| dt

Jeg ved heller ikke, hvordan du får de 66 sek. ind i billedet, andet end ved at sige, at du har defineret din tidsenhed, så omløbstiden er 66 sek, altså så 2π svarer til 66 sek. I dine formler er t jo en dimensionsløs størrelse, der skal forstås som voksende proportionalt med den fysiske tid T. Så er

t = T•2π/66s

I øvrigt kan vi udregne integralet i #1:

L = ∫^2π₀ 6 √2 √(1 + cost) dt

   = 6 √2 ∫^2π₀ √(1 + cost) dt

   = 6 √2•2 ∫^π₀ (√2) cos(t/2) dt

   = 12 • 2•2 ∫^π/2₀ cos(t) dt

   = 48 [sin(t)]^π/2₀

   = 48