Hjælp til forståelse af areal og volumeberegning

Når punktmængden er afgrænset af f og g og ikke andet menes der at du skal finde kurvernes skæringspunkter. De skæringspunkter angiver så grænserne.

Grænserne -2 og 1 er korrekt.

 Men når den skærer det samme sted 3 gange, hvad gør jeg så? Altså det er den med arealet jeg snakker om nu :)

#2 - Prøv at skrive hele den del af opgaveteksten, der drejer sig om arealet.

Punktmængden m1 er afgrænset af graferne for f og g

Beregn ved hjælp af stamfunktioner arealet af m1.

Og ja, er i tvivl om værdierne, udregningen er jeg rimelig sikker på, også i dette tilfælde hvor jeg mener g ligger over f og at den derfor hedder g(x) - f(x) når man udregner det. 

#4 - Punktmængden m₁ består jo sådan set af to diskrete dele med projektioner på x-aksen [-2 ; 0] og [0 ; 4] . Det samlede areal er så

A(m₁) = ∫⁰_-2 (f(x)-g(x)) dx + ∫⁴₀ (g(x)-f(x)) dx

Kan godt se det er skæringspunkterne, men det kniber nok bare lige lidt med forståelsen - er det pga det område de har går fra -2,0 ved den første og 0,4 ved den næste?

Og kan du hjælpe mig igang med den sidste? altså "M3 er afgrænset af grafen for g, x-aksen,y-aksen og linjen x = 4".

Har en ide om at det måske er det samme hvor der er 2 der skal lægges sammen - for den linje deler det vel op?

Og tusind tak indtil videre, hjælper lidt på forståelsen :)

Graferne for f og g skærer hinanden ved x = -2, x = 0, og x = 4.

Arealet af punktmængden m₃ er integralet fra x=0 til x=4 af g(x) dx . y-aksen er jo linien x = 0.

Nå ja, skal da også lige være opmærksom på at det kun er den ene funktion du skal bruge i den opgave :). Men lige for at være 100% sikker, skal det så forståes at når der står "at de er afgrænset for grafen f" så er det kun funktionen f man medtager - lige meget om der så også står at der er nogen linjer på x-aksen? Hvis du forstår :=) 

Det kommer jo helt an på, hvordan opgaven er formuleret, hvad der skal indgå i integralet. Det er altid en stor hjælp at lave en figur. Tænk på, at  ∫^b_a f(x) dx  er arealet af den figur, der afgrænses af grafen for f(x), x-aksen, og linierne x=a og x=b, forudsat, at f(x)≥0 , og at arealer af mere komplicerede figurer fås ved opdeling i figurer, hvis arealer kan beregnes på denne måde.

 Okey, mange tak, har hjulpet en del :=)..

Hvis der nu står ved en af opgaverne, at man evt kan benytte cas værktøj, betyder det så man kan tage det på lommeregneren? Der står egentlig også bestem i opgaven, og så betyder det vist at man groft sagt kan tage den på lommeregneren?

Er arealet ved m1 ikke A(m1) = ∫⁰-2 (g(x)-f(x)) dx + ∫^4₀ (f(x)-g(x)) dx?

isedet for A(m1) = ∫0-2 (f(x)-g(x)) dx + ∫40 (g(x)-f(x)) dx? Altså byttet rundt på f og g? Da g funktion jo ligger over f ved den første og ja omvendt ved den anden hvor f er over g?

 Dette giver dog et negativt resultat når jeg vender det om, men kan ikke se hvorfor det ikke skal vende sådan.. Har lært at det altid er den øverste funktion der skal stå først og det gør det ikke i det du siger - selvom lige pt ser det ud til det passer bedre :)

#11

I intervallet [-2 ; 0] gælder der, at f(x) ≥ g(x) , mens der i intervallet [0 ; 4] gælder g(x) ≥ f(x). Derfor satte jeg integralerne op, som jeg gjorde i #9, og der skal ikke byttes rundt, som du beskriver det i #11 og #12. Funktionen f ligger over g i det venstre interval og omvendt i det højre interval, ikke som du påstår det i #12.

 Ja goddag du :D. Jeg har bare sovet fuldstændig ved min tegning og blevet forvirret over jeg har sat graferne forkert.. Super opmærksomt af mig.. Men du skal havde tusind tak for hjælpen og tålmodigheden :) Jeg har fået det til at give et fint resultat nu så det ser okey ud - det eneste jeg ikke helt kan forstå er at når jeg regner det ud trin for trin for jeg det første stykke til at give -20/3 mens lommeregneren får det til at give 20/3.. Så ja, jeg stoler på lommeregneren :D. 

Altså

∫⁰_-2 (f(x)-g(x)) dx = ∫⁰_-2 (x³-2x²-8x) dx = [x⁴/4 -2x³/3 -4x²]⁰_-2 = -((-2)⁴/4 -2(-2)³/3-4(-2)²) = -16/4 - 16/3 + 16 = 20/3 . Når man gør det rigtigt, får man også det rigtige resultat.

Ikke lige helt efter min lommeregner :), men bruger måske en forkert metode. Jeg takker i hvert fald for hjælpen :)

Jeg kan jo ikke afgøre, hvad du beder din lommeregner om at udregne. Derimod kan jeg afgøre, at formlerne her giver det rigtige resultat.

 Det siger jeg heller ikke - og jeg kan da se du har ret siden det passer med det lommeregneren giver når jeg regner integralet - dog hvis jeg splitter det op og fx siger (x^4/4 - 2x^3/3 - 5x^2 + 6x) x=-2 giver det -38/3, og hvis jeg gør det samme med den sidste del af det, altså (3x^2/2 +6x) x=-2 giver det -6. I alt bliver det -38/3-(-6) = -20/3..

Men ja, kan også være lige gyldigt hvordan mig og min lommeregner udregner det her, vigtigste er jeg fik forstået hvordan det skulle gribes an :)=

#18 - Men det er jo stamfunktionen i den nedre grænse (-2) der bruges, derfor er der er et minus. Jeg beregnede det jo for dig i #15. Du gør det forkert.

∫⁰_-2 (f(x)-g(x)) dx = [F(x)-G(x)]⁰_-2 = (F(0)-G(0)) - (F(-2)-G(-2)) = -F(-2) + G(-2) , da F(0) = G(0) = 0 .

 Ja så giver det jo straks mere mening - jeg havde en overbevisning om man altid skulle starte fra nedre grænse, men det er jo egentlig omvendt.. Har lige regnet igennem og kan se det passer :) Takker!