Normalvektor, retningsvektor i rummet??

Du må præcisere, hvad parameterfremstilligen fremstiller (linie, plan, kurve?).

Hvis du har parameterfremstillingen for en plan i rummet, kender du dermed de to udspændende vektorer. En normalvektor til planen er så fx krydsproduktet af disse.
Ud fra normalvektoreren og det kendte punkt fra parameterfrenstillingen kan du så angive planens ligning.

Hvis du har parameterfremstillingen for en linje irummet, er der uendeligt mange forskellige normalvektorer (med forskellige retninger) til linjen - derfor kan en linje i rummet ikke angives ved en ligning.
 

Plan: Alle vektorer, der står vinkelret på en plan er parallelle - de har bare forskellig længde

Linje: Tag en vektor, som står vinkelret på linjen. Drej den 360º om linjen - alle de vektorer vil også stå vinkelret på linjen, men de har alle forskellige retninger.

Giver det mening?

Der er tale om en linje i rummet, som er udtrykt ved en parameterfremstilling.

Det er fordi, jeg har opgivet en linjes parameterfremstilling, linje AH. Yderligere er der opgivet et punkt F i rummet (som er kendt). Opgaven er så:

Den vinkelrette fra F på AH skærer AH i punktet F₁. Find koordinatsættet til skæringspunktet?

Som sagt kender jeg AH´s parameterfremstilling samt punket F - men dertil mangler jeg en parameterfremstilling for den linje, som er vinkelret på AH og som går gennem punket F. Derfor er jeg interesseret i at finde normalvektoren til AH´s parameterfremstilling, hvorefter jeg kan udlede en parameterfremstilling for linjen vinkelret på AH og som går gennem F. Derefter mangler jeg kun at finde skæringspunket mellem 2 parameterfremstillinger, som ikke er så svært.

Men problemet er at jeg ikke kender parameterfremstillingen vinkelret på AH og som går gennem F??

#3 - Så kendes parameterfremstillingen for linien i rummet på formen

OP = OA + t·AH ,

hvor P er et vilkårligt punkt på linien, A og H er kendte punkter på linien, og AH er dermed en retningsvektor for linien, og O er koordinatsystemets begyndelsespunkt.

Der er så givet et punkt F i rummet, og vi skal finde et punkt F₁ på linien, så FF₁ er vinkelret på AH . Vi skal altså finde t, så

OF₁ = OA + t·AH og så

FF₁•AH = 0 .

Nu er

OF₁ = OF + FF₁ , så

FF₁ = OF₁ - OF ,

og danner vi skalarproduktet heraf med vektoren AH, får vi

0 = FF₁•AH = OF₁•AH - OF•AH = OA•AH + t·AH•AH -OF•AH .

Bemærk, at vi kender punktet F, punktet A og vektoren AH , så i denne ligning er t den eneste ubekendte, og vi kan da løse for t:

t = (OF•AH-OA•AH)/|AH|² = (AF•AH)/|AH|²

Indsæt den fundne t-værdi i liniens parameterfremstilling til bestemmelse af punktet F₁.