Hjælp til at beregne differentialkvotienter

Prøv at omskrive udtrykket

x + x^-3

så  er det måske lettere for dig

ja har prøvet men det hjælper ikke rigtig for mig

du mener jeg skal omskrive til 1 og 3x²

x+1 / x³ = x + x^-3

og så differentierer du efter

 flg. regel:

y=axⁿ

y´=anx^n-1

Jeg må indrømme at jeg slet ikke er med. Er lige startet på emnet.

Skal vi lige være på det rene, er det  (x+1) / x³  eller x+(1/x³)  ?

I det første tilfælde deler du brøken op i 

x/x³ + 1/x³   = 1/x² + 1/x³ = x^-2 + x^-3

så bruger du regelerne  (xⁿ)' = n*x^n-1

og  (h(x)+g(x))' = h'(x) + g'(x)

så du får ( x^-2 + x^-3 )' = -2x^-3 - 3x^-4

Regenstykket hedder (x+1) / x³

hvis jeg skriver det ind på lommeregneren så bliver resultatet (-2x-3) /  x⁴

og det er så det samme som i svar 5

parenteser skal sættes med

 omhu i matematik,

for som du havde skrevet det  i

dit første indlæg

var det ikke hvad opgaven gik ud på

åbenbart

 Jeg går altid frem efter følgende "opskrift", når det handler om diff. af brøkfunktioner:

1. Start med at finde ud af, om der er et område, hvor funktionen ikke er defineret:

Man må ikke dividere med 0. Dvs. nævneren må ikke være lig med 0. 

I dit tilfælde, er det heldigvis til at tage og føle på: x³ ≠ 0 ⇔ x ≠ 0

 (Ovenstående skal du bruge, når I skal lege med monotoniforhold bl.a., så man kan ligeså godt indarbejde det i sin rutine.)

Lad os kalde din funktion h(x). Den kan du betragte som én funktion divideret med en anden funktion. Det letter arbejdet med at differentiere den betydeligt:

h(x) = (x+1)/x³ = f(x)/g(x)

f(x) = x+1  ;  f'(x) = (x+1)' = 1     ;     g(x) = x³  ;  g'(x) = (x³)' = (xⁿ)' = nx^n-1 = 3x^3-1 = 3x²

Vi har defineret at h(x) = f(x)/g(x).

Dvs. h'(x) = (f(x)/g(x))' 

Regnereglen for diff. af brøkfunktioner lyder:

h'(x) = (f(x)/g(x))' = (f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)) / (g(x))²

Vi indsætter mellemregningerne ovenfor i udtrykket og får: 

((1) · (x³) - (x+1) · (3x²)) / (x³)²

Jeg har sat paranteser omkring alt for at eksemplificere at de skal sættes med omhu, selvom det er lidt "overkill" i dette tilfælde.

Det næste, du så gør, er selvfølgelig at gange ind i paranteserne og reducere lidt på udtrykket, så det bliver lidt mere spiseligt:

((1) · (x³) - (x+1) · (3x²)) / (x³)² = (-2x³ - 3x²) / x⁶ = (-2x - 3) / x⁴

Nøjagtigt samme resultat, som din lommeregner serverede. Det "farlige" ved at differentiere på lommeregneren er, at den nogle gange kommer med et resultat, der ved første øjekast ser ud til at være helt ude i hampen, og så kan man sidde og klø sig i nakken over det og lede efter fejl, der ikke er der...